르베그-스틸티어스 측도

측도론에서 르베그-스틸티어스 측도(Lebesgue-Stieltjes測度, 영어: Lebesgue–Stieltjes measure)는 어떤 함수의 ‘도함수’에 해당하는 측도이다. 이를 사용한 적분을 르베그-스틸티어스 적분(Lebesgue-Stieltjes積分, 영어: Lebesgue–Stieltjes integral)이라고 한다.

정의

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다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 증가 함수  

그렇다면, 다음과 같은 외측도  를 정의할 수 있다.

 

여기서

 

는 실수 반(半)열린구간들의 집합족이며,

 

  속의 가산 개의 반(半)열린구간들의 집합족들의 모임이며,

 

이다.  로 생성되는 시그마 대수  는 실수선의 보렐 시그마 대수이다. 카라테오도리 확장 정리에 의하여, 이는 보렐 시그마 대수에 제한될 경우 측도를 이루며, 이를  르베그-스틸티어스 측도라고 한다.[1]:26, Definition 1.3.7 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다.

 

고차원 르베그-스틸티어스 측도

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우선, 임의의 집합  에 대하여, 정수 계수 형식적 합의 공간

 

을 생각하자. 임의의 함수  를 위 공간으로 다음과 같이 확장할 수 있다.

 
 

이 위에 다음과 같은  -선형 연산자를 정의하자.

 
 

이제, 임의의  에 대하여 다음과 같은  -선형 연산자를 정의하자.

 
 

함수

 

가 임의의  에 대하여 ( ) 다음 두 조건을 만족시킨다면, 분포 함수(영어: distribution function)라고 하자.

 
 

이 경우, 위와 같은  에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다.

 

이를 통해 마찬가지로 보렐 시그마 대수   위에 르베그-스틸티어스 측도

 

를 정의할 수 있다.[1]:27–28, §1.3.3

항등 함수  ,  의 르베그-스틸티어스 측도는 르베그 측도라고 한다.

함수

 

를 생각하자. 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

 

함수

 

를 생각하자 ( ). 이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.

 

여기서  르베그 측도이다.

성질

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정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.

역사

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앙리 르베그토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 땄다.

각주

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  1. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 

외부 링크

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