외측도

측도론에서, 외측도(外測度, 영어: outer measure)는 집합의 덮개를 통해 부피를 근사하는 함수이다.[1][2]

정의편집

집합   위의 (추상적) 외측도((抽象的)外測度, 영어: (abstract) outer measure)는 다음 세 조건을 만족시키는 함수

 

이다.

  •  
  • 임의의  에 대하여,  
  • (가산 준가법성) 임의의 가산 집합   ( )에 대하여,  

집합   위의 외측도  에 대한 카라테오도리 가측 집합(Καραθεοδωρή可測集合, 영어: Carathéodory measurable set)은 다음 조건을 만족시키는 집합  이다.

  • 임의의  에 대하여,  

카라테오도리 가측 집합의 집합은  로 표기한다.

성질편집

집합   위의 외측도  에 대하여,   의 부분 시그마 대수를 이루며,    위의 측도를 이루며, 또한 완비 측도를 이룬다. 즉,  완비 측도 공간이다.

거리 외측도편집

거리 공간   속 두 집합   사이의 거리는 다음과 같다.

 

거리 공간   위의 외측도  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  거리 외측도(距離外測度, 영어: metric outer measure)라고 한다.

  • 임의의  에 대하여, 만약  이라면,  
  •  . 즉, 모든 보렐 집합 -카라테오도리 가측 집합이다. (이에 따라  측도 공간을 이루지만, 이는 완비 측도 공간일 필요가 없다.)[3]:140, §7.14.x, Theorem 7.14.29
  • 모든 열린집합 -카라테오도리 가측 집합이다.

거리 공간   위의 거리 외측도  가 주어졌을 때, 모든 상반연속 함수하반연속 함수  가측 함수이다.[4]:53, Property 2. 2

카라테오도리 확장 정리편집

집합   속의 집합 반환은 다음 세 조건을 만족시키는 집합족  이다.

  •  
  • (이항 교집합에 대한 닫힘) 임의의  에 대하여,  
  • 임의의  에 대하여,  인 유한 개의 서로소 집합들의 족   ( )이 존재한다.

집합   속의 집합 반환   위에 정의된, 음이 아닌 확장된 실수 값의 함수

 

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는    위의 준측도(準測度, 영어: premeasure)라고 한다.[1]:20, §1.3.1, Definition 1.3.2[2]:170, §11, Problem 11.2

  • (가산 가법성) 임의의 가산 서로소 집합   ( )에 대하여, 만약  이라면,  . (특히,  을 생각하면  을 얻는다.)
  • 다음 두 조건을 만족시킨다.
    • (유한 가법성) 임의의 유한 서로소 집합   ( )에 대하여, 만약  이라면,  . (특히,  을 생각하면  을 얻는다.)
    • (가산 준가법성) 임의의 가산 집합   ( )에 대하여, 만약  이라면,  

집합   속의 집합족  에 대하여,   로 생성된 최소의 시그마 대수라고 하자.

다음이 주어졌다고 하자.

  • 집합  
  • 집합 반환  
  • 준측도  

이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.

 
 

카라테오도리 확장 정리에 따르면, 다음 조건들이 성립한다.

  •    위의 외측도이다.
  •  
  •  
  • 만약  이며  가산 집합   ( )이 존재한다면,   를 만족시키는 유일한   위의 측도이다.

그러나  보다 큰 시그마 대수 위에서  의 확장은 일반적으로 유일하지 않다.

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1차원 르베그-스틸티어스 외측도편집

실수선   위에서, 구간들의 족

 

집합 반환을 이루며,  이다. 또한,  이다.

임의의 증가 함수  에 대하여, 다음과 같은 함수를 정의하자.

 
 
 

그렇다면,    위의 준측도를 이룬다.[1]:33-34, §1.5, Problem 1.22–1.23 이 경우   (또는  )를 르베그-스틸티어스 측도 공간이라고 한다.

증명:

자명하게   과 유한 가법성을 만족시킨다. 따라서 가산 준가법성을 보이면 된다. 임의의 가산 집합   ( ) 이 주어졌고,  이라고 하자. 편의상  의 모든 원소가 유계 구간이며,

 
 
 

라고 가정하자. (다른 경우의 증명은 유사하므로 생략할 수 있다.) 임의의   에 대하여,

 

 을 취하자. 그렇다면  우연속 함수임에 따라

 

 가 존재한다.   열린 덮개를 이루며, 하이네-보렐 정리에 의하여 이는 유한 부분 덮개

 
 
 

를 갖는다. 따라서

 

이다. 여기서 첫 번째 부등호는

 

때문이다. 여기에  을 취하면

 

를 얻으며, 다시   를 취하면  의 우연속성에 따라

 

를 얻는다.

n차원 르베그-스틸티어스 외측도편집

임의의  에 대하여, 선형 연산자

 
 

를 정의하자.

또한, 임의의  에 대하여,

 

라고 하자.

함수

 
 

가 주어졌을 때, 집합 반환

 
 
 

위에 준측도

 

를 유도할 수 있으며, 카라테오도리 확장 정리에 따라 르베그-스틸티어스 측도 공간  을 구성할 수 있다.

르베그 외측도편집

함수

 
 

또는

 
 

에 대한 르베그-스틸티어스 외측도르베그 외측도라고 하며, 이에 대응하는 측도르베그 측도라고 한다.

하우스도르프 외측도편집

하우스도르프 외측도는 거리 외측도이다.[3]:1140, §7.14.x, Theorem 7.14.30

참고 문헌편집

  1. Athreya, Krishna B.; Lahiri, Soumendra N. (2006). 《Measure Theory and Probability Theory》. Springer Texts in Statistics (영어). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-35434-7. ISBN 978-0-387-32903-1. ISSN 1431-875X. Zbl 1125.60001. 
  2. Billingsley, Patrick (1995). 《Probability and Measure》. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (영어) 3판. New York, N.Y.: Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-00710-4. 
  3. Bogachev, Vladimir I. (2007). 《Measure theory. Volume II》 (영어). Berlin, Heidelberg: Springer. doi:10.1007/978-3-540-34514-5. ISBN 978-3-540-34513-8. LCCN 2006933997. 
  4. Jeon, Won-Kee (1986년 8월). “Lebesgue-Stieltjes Measures and Differentiation of Measures” (PDF). 《Honam Mathematical Journal》 8 (1): 51–74. ISSN 1225-293X. 

외부 링크편집