리만 재배열 정리

실해석학에서, 리만 재배열 정리(-再配列定理, 영어: Riemann series theorem, Riemann rearrangement theorem)는 실수항의 조건 수렴 급수의 항의 순서를 적절히 변경하여 임의의 실수 또는 음과 양의 무한대수렴하도록 만들 수 있다는 정리이다. 이 정리는 유한 개의 실수의 덧셈에 대한 교환 법칙이 무한 개의 실수에 대하여 성립하지 않는다는 것보다 더 많은 내용을 담는다.

정의편집

실수항 급수

 

조건 수렴한다고 하자. 리만 재배열 정리에 따르면, 임의의 확장된 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 순열  이 존재한다.[1]:6, §1.1, Theorem 1.1.3[2]:193, §8.2, Theorem 8.2.8

 

증명편집

자연수(음이 아닌 정수)의 집합  을 다음과 같이 분할하자.

 
 
 

그렇다면,

 
 

임을 보일 수 있다. (만약 두 급수가 모두 실수로 수렴한다면,  절대 수렴하므로 모순이다. 만약 두 급수가 하나는 무한대로 발산하고 하나는 실수로 수렴한다면,  은 무한대로 발산하므로 모순이다.) 특히,   는 모두 무한 집합이다.

이제, 급수가  로 수렴하도록 항을 재배열하는 방법을 찾자. 편의상  이라고 하자. 우선

 

인 자연수  를 취할 수 있다. 이 경우

 

이다. 이제

 

인 자연수  을 취하자. 그렇다면 마찬가지로

 

가 성립한다. 위와 같은 과정을 반복하면 다음을 만족시키는 자연수열   을 얻는다.

 
 
 
 

이제, 순열  을 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면, 임의의  에 대하여,

 
 

이므로

 

이다. 즉,

 

이다.

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조화 급수에 대응하는 교대 급수

 

를 생각하자. 이 급수는  로 수렴한다. 그러나 하나의 양의 실수항과 2개의 음의 실수항을 번갈아 가며 배열하여 얻는 새로운 급수는  로 수렴한다.

 

역사편집

베른하르트 리만의 이름을 땄다.

각주편집

  1. Kadets, Mikhail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). 《Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence》. Operator Theory Advances and Applications (영어) 94. Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9196-7. ISBN 978-3-0348-9942-0. Zbl 0876.46009. 
  2. Tao, Terence (2016). 《Analysis I》. Texts and Readings in Mathematics (영어) 37 3판. Singapore: Springer. doi:10.1007/978-981-10-1789-6. ISBN 978-981-10-1789-6. ISSN 2366-8725. LCCN 2016940817. 

외부 링크편집