리만 재배열 정리

리만 재배열 정리(-再配列定理, Riemann series theorem, Riemann rearrangement theorem)는 조건수렴하는 급수의 재배열 시 행위에 대한 정리이다. 베른하르트 리만의 이름이 붙었다. 정리에 의하면 유한합이 더하는 순서와 무관하게 그 합이 일정한 것과 상반되게, 조건수렴급수는 임의의 실수로 수렴하도록, 또는 양과 음의 무한대로 발산하도록 재배열할 수 있다.

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교대조화급수  은 조건수렴급수의 예이다. 자기 자신은  로 수렴하나  이다.

만약 원래의 순서인

 

에서부터

 

과 같이, 양수항 하나 뒤에 음수항 둘이 오는 식으로 재배열하면, 급수는 전과는 다른 곳으로 수렴한다.

 

비슷하게 합이 음수, 또는 무한대가 되기를 기대하면서 항이 나오는 차례를 조절할 수도 있다.

서술Edit

급수  이 조건수렴한다면, 임의의  에 대해, 전단사 함수  이 있어  이다.

리만 재배열 정리는 유한합, 그리고 절대수렴하는 무한급수에서의 '교환법칙'이 조건수렴급수에게는 통하지 않는다는 것을 의미한다.

증명Edit

정리의 증명을 위해서는 보조정리 격의 결론이 필요하다: 조건수렴급수  이 있고

 
 

이라고 하면,

  1.   모두 자연수의 무한 부분집합, 따라서 강한 증가 전단사 함수   ,   존재. 근거는 조건수렴이다. 둘 중 어느 하나가 유한집합일 경우, 급수는 자연히 절대수렴한다.
  2.   모두 발산. 이유는, 둘 다 수렴하면 원래 급수는 절대수렴, 하나만 수렴하면 원래 급수는 발산하기 때문이다.

이러한 결론을 사용하면,   에서 필요에 맞춰 항을 빼내어 임의의 미리 정해놓은  로 수렴하는 급수를 구성할 수 있다.  이라 가정하면(그 외 L = 음수, 0, ±∞일 때의 증명은 비슷하다), 두번째 결론에 따라

 

 이 존재하며, 이들 중 가작 작은  을 취하면

 

 

이 성립한다.  보다 큰 곳까지 진행된 급수는 상술 분석과 비슷한 방법으로   밑으로 내려간다.

 

이같은 배회를 반복하면 급수

   
 

를 얻으며, 급수의 부분합은  에 임의로 가깝게 다가간다.

 

따라서

 

이다. 물론  은 전단사이다.

 는 다음과 같이 재귀적으로 정의된다. 모든  에 대해  의 정의를 마쳤다면,

  • 만약  이면,  
  • 만약  이면,  

참고 문헌Edit