절대 수렴

해석학에서, 절대 수렴(絶對收斂, 영어: absolute convergence)은 급수가 각 항에 절댓값을 취하였을 때 수렴하는 성질이다.[1][2][3] 만약 어떤 실수항 또는 복소수항 급수가 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다.

실수항 또는 복소수항 급수편집

정의편집

 실수체 또는 복소수체라고 하자.

  항의 급수   ( )가 주어졌을 때, 만약 각 항에 절댓값을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

 

라면, 원래의 급수  절대 수렴한다고 한다.

성질편집

  항의 급수   ( )가 주어졌다고 하자.

만약  이 절대 수렴한다면, 원래의 급수 역시 수렴한다 (절대 수렴 판정법, 絶對收斂判定法, 영어: absolute convergence test). 그러나 그 역은 성립하지 않는다.   항의 급수가 수렴하지만 절대 수렴하지 않는다면, 조건 수렴한다고 한다. 또한, 임의의 순열  에 대하여, 그 순열을 통해 항을 재배열하여 얻는 급수   역시 수렴하며, 합은 원래의 급수와 같다.[2]:5, §1.1, Theorem 1.1.2 이는 임의의 바나흐 공간 또는 프레셰 공간 위에서도 성립한다.

증명:

실수항 급수   ( )가 절대 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 자연수  에 대하여  이므로, 임의의 자연수  에 대하여

 

이다. 따라서

 

이다. 즉,  는 수렴한다.   역시 수렴하므로,  는 수렴한다.

만약  조건 수렴한다면,  이 발산하게 되는 순열  이 존재한다.

만약  이며,  조건 수렴한다면, 임의의 확장된 실수  에 대하여,  이게 되는 순열  이 존재한다 (리만 재배열 정리).[2]:6, §1.1, Theorem 1.1.3

노름 공간 위의 급수편집

정의편집

 -노름 공간   위의 급수   ( )가 주어졌을 때, 만약 각 항에 노름을 취하여 얻는 음이 아닌 실수 항의 급수가 수렴한다면, 즉

 

라면, 원래의 급수  절대 수렴한다고 한다.

성질편집

바나흐 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.[2]:9, §1.3 유한 차원 노름 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.[2]:10, §1.3, Theorem 1.3.5 이에 따라, 유한 차원 바나흐 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴동치이다. 무한 차원 바나흐 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다 (드보레츠키-로저스 정리).[2]:48, §4.1, Theorem 4.1.1[3]:184, §IV.10, (10.7), Corollary 3

위상 벡터 공간 위의 급수편집

정의편집

하우스도르프  -국소 볼록 공간   위의 급수   ( )가 주어졌을 때, 만약 임의의 연속 반노름  에 대하여,

 

라면, 원래의 급수  절대 수렴한다고 한다.

성질편집

하우스도르프 완비 국소 볼록 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴하며, 특히 (통상적인 의미에서) 수렴한다.[3]:120, §III, Exercise 23, (a) 특히, 프레셰 공간 위의 모든 절대 수렴 급수는 무조건 수렴 및 수렴한다. 유한 차원 하우스도르프 국소 볼록 공간 위의 모든 무조건 수렴 급수는 절대 수렴한다.[3]:120, §III, Exercise 23, (b) (영어: nuclear) 프레셰 공간 위에서 절대 수렴은 무조건 수렴동치이며, 비(非) 프레셰 공간 위에는 무조건 수렴하지만 절대 수렴하지 않는 급수가 존재한다.[1]:138, §2.9, Theorem 2.9.14[3]:184, §IV.10, (10.7), Corollary 2

각주편집

  1. Bogachev, V. I.; Smolyanov, O. G. (2017). 《Topological Vector Spaces and Their Applications》. Springer Monographs in Mathematics (영어). Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-57117-1. ISBN 978-3-319-57116-4. ISSN 1439-7382. LCCN 2017939903. Zbl 1378.46001. 
  2. Kadets, Mikhail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). 《Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence》. Operator Theory Advances and Applications (영어) 94. Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9196-7. ISBN 978-3-0348-9942-0. Zbl 0876.46009. 
  3. Schaefer, H. H.; Wolff, M. P. (1999). 《Topological Vector Spaces》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 3 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4612-1468-7. ISBN 978-1-4612-7155-0. ISSN 0072-5285. Zbl 0983.46002. 

외부 링크편집