절대수렴

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수학에서, 무한급수의 항들의 절댓값들을 구하여 이의 합이 수렴할 때, 이 무한급수가 절대수렴(絶對收斂, 영어: absolute convergence)한다고 한다. 다시 말해, 어떤 실수 L에 대해서 가 성립할 경우 복소 급수 를 절대수렴급수라고 한다. 이와 유사하게는 이상적분 에 대해서도 가 성립할 때 이가 절대수렴한다고 표현한다.

절대수렴은 모든 수렴 급수들이 갖지는 못하는 부분합에 대한 특성들을 가질 정도로 강력하면서도 여러 급수에서 빈번히 나타날 정도로 넓은 정의를 가졌기에 무한급수에 대한 연구에서 중요한 역할을 한다.

배경편집

모든  아벨 위상군에 속하는   을 생각해보면, 절대수렴에 대한 엄밀한 접근을 위해 노름이라 하는 함수   가 필요하다. (G는 항등원 0이 포함된 아벨 군이다.) 이 함수는 아래의 성질을 만족한다.

  1. G의 항등원의 노름값은 0이다. 곧,  
  2. G의 모든 원소 x에 대해  는  을 의미한다.
  3. G의 모든 원소 x에 대해   
  4. G의 모든 원소 x, y에 대해   

이 경우, 함수   는 G 상에 하나의 거리 공간을 형성한다. 그렇다면 우리는 이 G 상의 급수   <를 만족하는 급수가 절대수렴한다고 정의해도 무방할 것이다.

이 노름이라는 함수 중 대표적인 것은 절댓값 함수 |x|로, 이하 서술에서 이를 사용하도록 하겠다.

수렴과의 연관성편집

만약 G가 거리함수 d에 대한 완비 거리 공간이라면 모든 절대 수렴 급수는 수렴한다. 이에 대한 증명은 완비성을 통해 코시 판정법을 이용한 후 삼각 부등식을 적용함으로써 간단히 보일 수 있다.

만약 급수가 수렴하지만 절대수렴하지는 않는다면, 이 급수는 조건수렴한다고 한다. 이런 급수에는 부호가 교대로 변하는 조화급수가 있다. 

비판정법이나 근판정법을 비롯한 많은 수렴-발산 판정법들은 절대수렴 여부를 증명하는데에도 그대로 쓰인다. 이는 멱급수가 수렴반경 내에서 절대수렴이기 때문이다.

증명편집

복소 급수의 수열의 수렴은 급수의 실수부와 허수부가 동시에 수렴하는 경우에만 성립하므로 모든 항이 실수라고 일반화하여 생각하여도 무방할 것이다.

 가 수렴한다고 가정하자. 그럼 당연하게도   역시 수렴한다.

  이므로  이다. 따라서,   는 유계인 단조급수이므로 수렴한다.

  로 두 수렴하는 급수의 차로 원래의 급수를 표현할 수 있다. 그러므로 원래의 급수 역시 수렴한다.