확률론 에서 마르코프 확률 과정 (Марков確率過程, 영어 : Markov stochastic process )는 현재에 대한 조건부 로 과거와 미래가 서로 독립 인 확률 과정 이다. 즉, 마르코프 확률 과정은 ‘기억하지 않는’ 확률 과정이다. 마르코프 확률 과정에서 미래를 유추하려 한다면, 오직 현재의 값만이 쓸모가 있으며, 과거의 값들은 아무 추가 정보를 제공하지 못한다.
다음이 주어졌다고 하자.
하계 및 상계 를 갖는 전순서 집합
(
T
,
≤
)
{\displaystyle (T,\leq )}
여과 확률 공간
(
Ω
,
F
(
t
)
,
Pr
)
t
∈
T
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}(t),\Pr )_{t\in T}}
가측 공간
E
{\displaystyle E}
순응 확률 과정
X
:
Ω
×
T
→
E
{\displaystyle X\colon \Omega \times T\to E}
이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 마르코프 확률 과정 이라고 한다.
임의의
0
≤
s
≤
t
{\displaystyle 0\leq s\leq t}
X
(
s
)
{\displaystyle X(s)}
X
(
t
)
{\displaystyle X(t)}
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(s)}
독립 이다. 즉, 임의의 가측 집합
S
⊆
E
{\displaystyle S\subseteq E}
Pr
(
X
(
t
)
∈
E
|
F
s
)
=
Pr
(
X
(
t
)
∈
E
|
X
(
s
)
)
{\displaystyle \Pr(X(t)\in E|{\mathcal {F}}_{s})=\Pr(X(t)\in E|X(s))}
만약 여과 확률 공간 이 구체적으로 주어지지 않았다면, 이는
X
{\displaystyle X}
자연 여과 확률 공간 을 일컫는다.
다시 말해,
s
{\displaystyle s}
t
{\displaystyle t}
F
(
s
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}(s)}
독립 이다.
특히, 만약
E
{\displaystyle E}
가산 이산 가측 공간 이라고 하자. 그렇다면, 마르코프 확률 과정의 정의는 다음과 같아진다.
임의의 시각의 가산 개의 시각
t
0
>
t
1
>
t
2
…
>
0
{\displaystyle t_{0}>t_{1}>t_{2}\dotsc >0}
x
0
,
x
1
,
x
2
,
…
∈
E
{\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\dotsc \in E}
Pr
(
X
(
t
0
)
=
x
0
|
X
(
t
1
)
=
x
1
,
X
(
t
2
)
=
x
2
,
…
)
=
Pr
(
X
(
t
0
)
=
x
0
|
X
(
t
1
)
=
x
1
)
{\displaystyle \Pr(X(t_{0})=x_{0}|X(t_{1})=x_{1},X(t_{2})=x_{2},\dotsc )=\Pr(X(t_{0})=x_{0}|X(t_{1})=x_{1})}
특히,
E
{\displaystyle E}
가산 이산 가측 공간 이며
T
=
N
{\displaystyle T=\mathbb {N} }
자연수 의 집합)인 경우를 마르코프 연쇄
강한 마르코프 확률 과정
편집
여과 확률 공간
(
Ω
,
F
(
t
)
)
t
∈
[
0
,
∞
]
{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}(t))_{t\in [0,\infty ]}}
순응 확률 과정
X
:
Ω
×
[
0
,
∞
)
→
E
{\displaystyle X\colon \Omega \times [0,\infty )\to E}
이 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 강한 마르코프 확률 과정 (영어 : strongly Markov stochastic process )이라고 한다.
임의의
t
∈
[
0
,
∞
)
{\displaystyle t\in [0,\infty )}
정지 시간
τ
:
Ω
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \tau \colon \Omega \to [0,\infty ]}
τ
<
∞
{\displaystyle \tau <\infty }
X
(
τ
)
{\displaystyle X(\tau )}
X
(
t
+
τ
)
{\displaystyle X(t+\tau )}
{
S
∈
F
∞
:
∀
t
∈
[
0
,
∞
)
∀
s
∈
(
t
,
∞
)
:
τ
−
1
(
{
t
}
)
∩
S
∈
F
(
s
)
}
{\displaystyle \{S\in {\mathcal {F}}_{\infty }\colon \forall t\in [0,\infty )\forall s\in (t,\infty )\colon \tau ^{-1}(\{t\})\cap S\in {\mathcal {F}}(s)\}}
독립 이다. 강한 마르코프 확률 과정의 정의에서, 정지 시간 을 상수 함수
τ
=
t
0
{\displaystyle \tau =t_{0}}
다음이 주어졌다고 하자.
완비 확률 공간
Ω
{\displaystyle \Omega }
위상 공간
E
{\displaystyle E}
보렐 시그마 대수
Borel
(
E
)
{\displaystyle \operatorname {Borel} (E)}
T
⊆
[
0
,
∞
)
{\displaystyle T\subseteq [0,\infty )}
모노이드 이다.그렇다면, 그 위의 전이 모노이드 (轉移monoid, 영어 : transition monoid )는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
임의의
s
,
t
∈
T
{\displaystyle s,t\in T}
s
≤
t
{\displaystyle s\leq t}
μ
s
t
:
E
×
Borel
(
E
)
→
[
0
,
∞
]
{\displaystyle \mu _{st}\colon E\times \operatorname {Borel} (E)\to [0,\infty ]}
이들은 다음 조건을 만족시켜야 한다.
(가측성) 임의의
s
≤
t
{\displaystyle s\leq t}
보렐 집합
S
∈
Borel
(
E
)
{\displaystyle S\in \operatorname {Borel} (E)}
μ
s
t
(
−
,
S
)
{\displaystyle \mu _{st}(-,S)}
가측 함수 이다.
(정규화) 임의의
s
≤
t
{\displaystyle s\leq t}
x
∈
E
{\displaystyle x\in E}
μ
s
t
(
x
,
−
)
{\displaystyle \mu _{st}(x,-)}
E
{\displaystyle E}
확률 측도 이다.
(항등원) 임의의
t
∈
T
{\displaystyle t\in T}
μ
t
t
(
x
,
−
)
=
δ
x
(
−
)
{\displaystyle \mu _{tt}(x,-)=\delta _{x}(-)}
디랙 델타 측도)
(합성) 임의의
s
≤
t
≤
u
{\displaystyle s\leq t\leq u}
μ
s
u
=
μ
s
t
μ
t
u
{\displaystyle \mu _{su}=\mu _{st}\mu _{tu}}
임의의 마르코프 확률 과정
X
:
Ω
×
T
→
E
{\displaystyle X\colon \Omega \times T\to E}
Law
(
X
(
t
)
)
=
ν
t
∀
t
∈
T
{\displaystyle \operatorname {Law} (X(t))=\nu _{t}\qquad \forall t\in T}
Pr
(
X
(
t
)
∈
S
|
F
t
)
=
μ
s
t
∀
S
∈
Borel
(
E
)
{\displaystyle \Pr(X(t)\in S|{\mathcal {F}}_{t})=\mu _{st}\qquad \forall S\in \operatorname {Borel} (E)}
인 확률 측도 의 족
(
ν
t
)
t
∈
T
{\displaystyle (\nu _{t})_{t\in T}}
및 전이 모노이드
(
μ
s
t
)
s
,
t
∈
T
{\displaystyle (\mu _{st})_{s,t\in T}}
(
ν
t
)
t
∈
T
{\displaystyle (\nu _{t})_{t\in T}}
ν
s
=
ν
t
μ
t
s
{\displaystyle \nu _{s}=\nu _{t}\mu _{ts}}
라면,
Law
(
X
(
t
)
)
=
ν
t
{\displaystyle \operatorname {Law} (X(t))=\nu _{t}}
이며
Law
(
X
(
t
1
)
,
X
(
t
2
)
,
…
,
X
(
t
n
)
)
=
ν
t
1
⊗
μ
t
1
t
2
⊗
⋯
⊗
μ
t
n
−
1
t
n
{\displaystyle \operatorname {Law} (X(t_{1}),X(t_{2}),\dotsc ,X(t_{n}))=\nu _{t_{1}}\otimes \mu _{t_{1}t_{2}}\otimes \dotsb \otimes \mu _{t_{n-1}t_{n}}}
이 되는 마르코프 과정
X
{\displaystyle X}
여기서
Law
(
−
)
{\displaystyle \operatorname {Law} (-)}
확률 측도 )을 뜻한다.
참고 문헌
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Trivedi, Kishor S. (2002). 《Probability and Statistics with Reliability, Queueing, and Computer Science Applications》 (영어). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-33341-7 Nummelin, E. (1984). 《General irreducible Markov chains and non-negative operators》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 0-521-60494-X 외부 링크
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![{\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}(t))_{t\in [0,\infty ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db67e5293455e2c879e5bf5c7caa0940ec676957)
![{\displaystyle \tau \colon \Omega \to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87574185790c0524178d228503fa334803f518a9)
![{\displaystyle \mu _{st}\colon E\times \operatorname {Borel} (E)\to [0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f02ecbc48f7f0e3dcb6e1051181711f5100af7)
