베주 정역

가환대수학에서 베주 정역(Bézout整域, 영어: Bézout domain)은 베주 항등식을 만족시키는 정역이다.

정의

환 $R$가 다음 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 베주 환(영어: left Bézout ring)이라고 한다.

• 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼은 주 아이디얼이다.
• 두 주 왼쪽 아이디얼의 합이 주 왼쪽 아이디얼이다. 즉, 임의의 두 원소 $r,s\in R$에 대하여, $Rr+Rs=Rt$가 되는 $t\in R$가 존재한다.

마찬가지로, 오른쪽 베주 환(영어: right Bézout ring)을 정의할 수 있다. 물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.

정역 $D$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 베주 정역이라고 한다.

• 왼쪽 베주 환이다.
• 오른쪽 베주 환이다.
• (베주 항등식) 임의의 $a,b\in D$에 대하여, 최대공약수 $\gcd\{a,b\}\in D$가 존재하며, 또한 $\gcd\{a,b\}=ac+bd$인 $c,d\in D$가 존재한다.
• 모든 소 아이디얼 ${\mathfrak {p}}$에 대하여, 국소화 $D_{\mathfrak {p}}$가 값매김환이다.
• 모든 극대 아이디얼 ${\mathfrak {m}}$에 대하여, 국소화 $D_{\mathfrak {m}}$이 값매김환이다.

성질

베주 정역은 최대공약수 정역(영어: GCD domain)이자 프뤼퍼 정역(영어: Prüfer domain)이다.

가환환에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 주 아이디얼 정역이다.
• 베주 정역이며 유일 인수 분해 정역이다.
• 베주 정역이며 뇌터 환이다.

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 베주 정역이자 국소환이다.
• 값매김환이다.

가군

오른쪽 베주 환 위에서, 꼬임 없는 왼쪽 가군의 개념은 평탄 왼쪽 가군과 일치한다.^{:§1:128, Proposition 4.20} (여기서, 꼬임 없는 왼쪽 가군 $_{R}M$은 임의의 $r\in R$에 대하여 $\operatorname {Tor} _{R}^{1}(R/rR,M)=0$인 것이다.) 반대로, 왼쪽 베주 환 위에서, 꼬임 없는 오른쪽 가군의 개념은 평탄 오른쪽 가군과 일치한다.

예

모든 대수적 정수의 정역은 베주 정역이지만, 뇌터 환이 아니며 유일 인수 분해 정역도 아니다.

외부 링크

• “Bezout ring”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Definition and basic properties of Bezout domains”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 11월 4일. 
• “Exhibit a Bezout domain that is not a PID”. 《Project Crazy Project》 (영어). 2010년 12월 22일. 
• “Definition: Bézout domain”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Bezout ring”. 《CommAlg》 (영어). 
• “Bezout domain”. 《CommAlg》 (영어). 
• “Bezout implies gcd”. 《CommAlg》 (영어). 
• “Gcd not implies Bezout”. 《CommAlg》 (영어). 
• “What is the divisibility theory for Bezout domains?” (영어). Math Overflow.