꼬임 없는 가군

환론에서 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 가군 이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군(영어: divisible module)은 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 이다. 꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다.

보다 구체적으로, 임의의 환 및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 만약 이라면, 당연히 이다. 따라서, 임의의 에 대하여 일 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 꼬임 없는 가군이라고 한다.

마찬가지로, 임의의 환 및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면 이므로, 임의의 에 대하여 이 존재할 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 나눗셈 가군이라고 한다.

정의

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 왼쪽 가군  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 나눗셈 왼쪽 가군(영어: divisible left module)이라고 한다.

  • 임의의   에 대하여,  이라면,  이다.[1]:§1[2]:70, Definition 3.16
  • 임의의  에 대하여,  이다.[1]:Proposition 1′

 왼쪽 가군  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 꼬임 없는 왼쪽 가군(영어: torsion-free left module)이라고 한다.

  • 임의의   에 대하여,  이라면,  이다.[1]:§1[3]:83, §2.8
  • 임의의  에 대하여,  이다.[1]:Proposition 1
  • 임의의  에 대하여, 자연스러운 군 준동형  아벨 군동형이다.[3]:83, Proposition 2.8.4

여기서

 
 

는 각각  의 왼쪽·오른쪽 소멸자이며,

 

이며, Tor는 Tor 함자이며, Ext는 Ext 함자이다.

성질

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모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.[1]:Proposition 2[2]:Corollary 3.17′ 이는 왼쪽 가군  단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼  에 대하여  인 것이기 때문이다.[4]:Lemma 4.1.11

 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 폰 노이만 정칙환(영어: von Neumann regular ring) 또는 절대 평탄환(영어: absolutely flat ring)이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,   가 존재한다.
  • 모든  -왼쪽 가군은 꼬임 없는 왼쪽 가군이다.[1]:149, §2
  • 모든  -오른쪽 가군은 꼬임 없는 오른쪽 가군이다.[1]:149, §2
  • 모든  -왼쪽 가군은 나눗셈 왼쪽 가군이다.[1]:149, §2
  • 모든  -오른쪽 가군은 나눗셈 오른쪽 가군이다.[1]:149, §2
  • 모든  -왼쪽 가군평탄 왼쪽 가군이다.
  • 모든  -왼쪽 가군평탄 오른쪽 가군이다.
  • 모든 주 왼쪽 아이디얼멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의  에 대하여,  이자   가 존재한다.
  • 모든 주 오른쪽 아이디얼멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의  에 대하여,  이자   가 존재한다.
  • 모든 유한 생성 왼쪽 아이디얼멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의  에 대하여,  이자   가 존재한다.
  • 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의  에 대하여,  이자   가 존재한다.

평탄 가군과의 관계

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모든 왼쪽 평탄 가군  은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, 베주 정역의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.[1]:Proposition 2[2]:128, Proposition 4.20 이는 왼쪽 가군  평탄 가군일 필요충분조건은 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼  에 대하여  인 것이기 때문이다.

꼬임 없는 왼쪽 가군  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[3]:84, Proposition 2.8.5

  • 평탄 왼쪽 가군이다.
  • 임의의 오른쪽 아이디얼  에 대하여,  이다.
  • 임의의 유한 생성 오른쪽 아이디얼  에 대하여,  이다.

여기서

 

이다.

각주

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  1. Hattori, Akira (1960). “A foundation of torsion theory for modules over general rings”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 17: 147–158. ISSN 0027-7630. MR 0137745. Zbl 0117.02202. 
  2. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. 
  3. Tuganbaev, Askar. 《Rings close to regular》. Mathematics and its Applications (영어) 545. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-94-015-9878-1. ISBN 978-90-481-6116-4. 
  4. Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001. 

외부 링크

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