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환론에서, 국소화(局所化, 영어: localization)는 의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건(영어: Ore condition)이라는 조건이 성립해야 한다.

가환환의 국소화편집

보편 성질편집

 가환환이고,  가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면,   에 대한 국소화  는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환  환 준동형  으로 구성된다.

  1. 임의의  에 대하여,  가역원이다.
  2. (1)을 만족시키는 임의의 가환환  환 준동형  에 대하여,  이 되는 환 준동형  가 유일하게 존재한다.
 

국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.

보편 성질 가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고  를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약  가 곱셈 모노이드가 아니고,  가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상  가 된다.

구성편집

위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.

  위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약  ,  이고   가 있다면

 

으로 정의한다. 그렇다면  로 놓자. 이는 대략   와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로   로 쓰자.

  위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.

 
 .

또한,  로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

 .

이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.

비가환환의 국소화편집

가환환이 아닐 수 있는 임의의   및 부분 모노이드  에 대하여, 국소화  를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주  에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만,[1]:289, Proposition (4.9.2) 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.

  • (A)  의 모든 원소  에 대하여,  가 되는   가 존재한다.[1]:288, (4.9.1a)
  • (A′)  의 모든 원소  에 대하여,  가 되는   가 존재한다.
  • (B)   이다.[1]:288, (4.9.1b)
  • (B′)   이다.
  • (C)  이며  라면  이다.[1]:289, Example (4.9.3)

이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편  -가역화 환(普遍 -可逆化環, 영어: universal  -inverting ring)이라고 불리기도 한다.

비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자   속의,  가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자

 
 

를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자  를 가지며, 따라서  표현 가능 함자이다. 즉,

 

로 생각할 수 있으며,  는 국소화  를 이룬다.

만약  가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화  는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)

구성편집

비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다.[1]:Proposition (4.9.2)  의 표시

 

를 고르자. 즉, 생성원  와 관계  로 나타내자. 그렇다면, 각  에 대하여 생성원  를 추가하고, 또 관계

 

를 추가하자. 그렇다면

 

는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.

이 구성에서,  의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.

 

오레 국소화편집

비가환환  의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환  와 부분 모노이드  오레 조건(영어: Ore condition)이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.

구체적으로,  와 부분 모노이드  가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건(영어: left Ore condition)이 성립한다고 한다.

  •  
  •  

마찬가지로,  와 부분 모노이드  가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건(영어: right Ore condition)이 성립한다고 한다.

  •  
  •  

 가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합   위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.

 

그렇다면  는 집합으로서 몫집합  이다.  의 동치류를  로 표기하자.   위의 곱셈은 다음과 같다.

 

여기서   는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

" "

로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로,   위의 덧셈은 다음과 같다.

 

여기서   는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는

" "

로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는

" "

로 생각할 수 있다.

마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화  를 구성할 수 있다.

이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화(영어: Ore localization)라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.[1]:Corollary (4.10.11)

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.

가군의 국소화편집

 의 곱셈에 대한 부분 모노이드    위의 왼쪽 가군  이 주어졌다고 하자. 그렇다면,   에서의 국소화    위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.

 

또한, 표준적인  -왼쪽 가군 사상  가 존재한다.

이는 함자

 

를 정의하며, 환 준동형  에 의한 망각 함자

 

왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의  -왼쪽 가군준동형  에 대하여, 만약 임의의  에 대하여  전단사 함수라면,   -왼쪽 가군 준동형  이 존재한다.

 

구성편집

 가환환일 때, 가군의 국소화  는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.

  위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.

 

 은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다.  동치류 로 표기하자. 그렇다면,   위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.

 
 

성질편집

소 아이디얼편집

가환환   및 곱셈 모노이드  에 대하여, 국소화  소 아이디얼들은  의 소 아이디얼 가운데  서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.

 
 

여기서  는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.

특히,  소 아이디얼  에 대하여,  국소환이며, 유일한 극대 아이디얼 에 대응한다.

국소화의 단사성과 전사성편집

가환환   및 곱셈 모노이드  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 표준적 환 준동형  단사 함수이다.
  •  영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.)

그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.

뇌터 가환환   위의 단사 가군   및 임의의 원소  에 대하여,  전사 함수이다.[2]:214, Lemma III.3.3

오레 조건의 필요충분성편집

  및 곱셈 모노이드  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:300, Theorem (4.10.6)

  •  는 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다.
  • 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형  이 존재한다.
    •  
    •  
    •  

또한, 이러한 조건을 만족시키는  는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.[1]:302, Corollary (4.10.11)

마찬가지로, 환   및 곱셈 모노이드  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다.
  • 다음 세 조건들을 만족시키는 환 준동형  이 존재한다.
    •  
    •  
    •  

특히, 만약  가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.

편집

(비가환일 수 있는)   및 곱셈 모노이드  가 주어졌다고 하자.

  •  이라고 하자. 그렇다면 항상   (자명환)이다. 만약  가환환이라면, 그 역 또한 성립한다.
  •  이라고 하자. 그렇다면 항상  이다.

분수체편집

(곱셈 항등원을 갖는)  에 대하여,

 

가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한,  가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화   전분수환  라고 한다.

특히, 만약  가 (가환) 정역이라면  이며,  를 이룬다. 이 경우,  분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드  가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형  은 다음과 같이  의 일부분을 이룬다.

 

이에 따라  는 항상 분수체  부분환을 이룬다.

정수환편집

정수환  소 아이디얼소수주 아이디얼   또는 영 아이디얼  이다.

정수환  를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.

 
 

즉, 분모가  의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히,  이산 값매김환이며,  이다.

정수환의  를 원소  에서 국소화하면 다음과 같다.

 
  (자명환)

즉, 분모가  의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히  로 표기되는 p진 정수의 환와 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)

정수환의 몫환편집

정수환몫환  을 생각해 보자.  소수의 거듭제곱이라면  이거나  이다. 만약  이고,   가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여  이다. 그렇다면  이 가능한데, 이 경우  이다.

비가환환의 자명한 국소화편집

  및 정수  에 대하여, 행렬환  을 생각하자.   에서 성분  을 가지며, 나머지 성분이 모두  인 행렬이라고 하자. 그렇다면,  일 때, 국소화  자명환이다.[1]:289–290, Example (4.9.3)

응용편집

대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.[2]:xvi

  • 원소  가 주어진 경우,   에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을  가 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합  에 국한한 것이다.
    • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환  의 경우  로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간   위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로,  으로 국한된 것을 알 수 있다.
  • 소 아이디얼  가 주어진 경우,   에 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을  자리스키 폐포  근방에 국한한 것이다.
    • 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환  극대 아이디얼  에서 국소화하면 유리 함수체  을 얻는다. 이는  근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로,  의 근방으로 국한된 것을 알 수 있다.

역사편집

1927년에 하인리히 그렐(독일어: Heinrich Grell, 1903~1974)이 정역분수체를 도입하였다.[3][4]:299[5]:57

에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다.[1]:300 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다.[6]:466[4]:299 (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.[1]:300)

임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레[7]와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프(러시아어: Алекса́ндр Илларио́нович У́зков)[8]가 도입하였다.[5]:57

참고 문헌편집

  1. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. 
  2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 
  3. Grell, H. (1927). “Beziehungen zwischen Idealen verschiedener Ringen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 97: 490–523. ISSN 0025-5831. doi:10.1007/BF01447879. 
  4. Coutinho, S. C.; McConnell, J. C. (2003년 4월). “The quest for quotient rings (of noncommutative Noetherian rings)”. 《The American Mathematican Monthly》 (영어) 110 (4): 298–313. JSTOR 3647879. doi:10.2307/3647879. 
  5. Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 150. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. 
  6. Ore, Oystein (1937년 7월). “Linear equations in non-commutative fields”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 32 (3): 463–477. JSTOR 1968245. doi:10.2307/1968245. 
  7. Chevalley, C. (1944). “On the theory of local rings”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 44: 690–708. JSTOR 1969105. doi:10.2307/1969105. 
  8. Узков, Александр Илларионович (1948). “О кольцах частных коммутативных колец”. 《Математический сборник》 (러시아어) 13: 71–78. MR 26041. Zbl 0035.01903. 

같이 보기편집

외부 링크편집