볼츠만 분포
통계 역학 및 수학에서 볼츠만 분포(Boltzmann distribution)는 시스템이 해당 상태의 에너지와 온도의 함수로 특정 상태 에 있을 확률을 제공하는 확률 분포 또는 확률 척도이다. 체계. 분포는 다음과 같은 형식으로 표현된다.
여기서 pi는 시스템이 상태 i 에 있을 확률이고 εi는 해당 상태의 에너지이며 kT 는 볼츠만 상수 k 와 열역학적 온도 T 의 곱이다. 은 비례를 나타낸다.
여기서 시스템이라는 용어는 매우 넓은 의미를 갖는다. 그것은 '충분한 수'의 원자(단, 단일 원자는 아님)의 집합에서 천연 가스 저장 탱크 와 같은 거시적 시스템에 이르기까지 다양하다. 따라서 볼츠만 분포는 매우 다양한 문제를 해결하는 데 사용할 수 있다. 분포는 에너지가 낮은 상태가 항상 점유될 확률이 더 높다는 것을 보여준다.
두 상태의 확률 비율 은 볼츠만 인자로 알려져 있으며 특징적으로 상태의 에너지 차이에만 의존한다.
1868년 열평형 상태의 가스 통계 역학 연구 중에 처음 공식화한 루트비히 볼츠만의 이름을 따서 명명되었다.[1] Boltzmann의 통계 작업은 그의 논문 "On the Relationship between the Second Fundamental of the Theory of Heat and Probability Calculations about the Conditions for Thermal Equilibrium"[2] 분포는 나중에 1902년 기브스에 의해 현대적인 일반 형태로 광범위하게 조사되었다.[3]
일반화된 볼츠만 분포는 엔트로피의 통계역학 정의( 깁스 엔트로피 공식 ) 및 엔트로피의 열역학적 정의( , 그리고 기본적인 열역학 관계 ).[4]
볼츠만 분포는 맥스웰-볼츠만 분포 또는 맥스웰-볼츠만 통계와 혼동되어서는 안 된다. 볼츠만 분포는 시스템이 해당 상태 에너지의 함수로 특정 상태에 있을 확률을 제공하는[5] 맥스웰-볼츠만 분포는 이상 기체 의 입자 속도 또는 에너지 확률을 제공한다.
분포
편집볼츠만 분포는 확률 분포를 그 상태의 에너지 및 온도의 함수이다.[6] 다음과 같이 주어진다.
p가 난 상태 I의 확률이고, i 개의 상태의 에너지 난을 ε 볼츠만 상수 K, T는 시스템의 절대 온도, M은 관심의 시스템에 액세스하는 모든 상태의 수이다.[6][5] 정규화 분모 Q (일부 작성자는 Z 로 표시)는 정규 분할 함수이다.
모든 접근 가능한 상태의 확률을 합하면 1이 되어야 한다는 제약 조건에서 비롯된다.
볼츠만 분포는 엔트로피를 최대화하는 분포이다.
라는 제약 조건에 따라 특정 평균 에너지 값과 같다( 라그랑주 승수를 사용하여 증명할 수 있음).
관심 시스템에 액세스할 수 있는 상태의 에너지를 알고 있으면 분할 함수를 계산할 수 있다. 원자의 경우 파티션 함수 값은 NIST 원자 스펙트럼 데이터베이스에서 찾을 수 있다.[7]
분포는 에너지가 낮은 상태가 에너지가 높은 상태보다 항상 차지할 확률이 더 높다는 것을 보여준다. 또한 점령 중인 두 상태의 확률 사이의 양적 관계를 제공할 수도 있다. 상태 i 와 j에 대한 확률의 비율은 다음과 같이 주어진다.
여기서 p i는 상태 i 의 확률, p j 상태 j 확률, ε i 와 ε j는 각각 상태 i 와 j 의 에너지이다. 에너지 준위 인구의 해당 비율은 퇴화 도 고려해야 한다.
볼츠만 분포는 원자나 분자와 같은 입자가 접근할 수 있는 경계를 넘어선 분포를 설명하는 데 자주 사용된다. 많은 입자로 구성된 시스템이 있는 경우 입자가 상태 i에 있을 확률은 실제로 해당 시스템에서 임의의 입자를 선택하고 어떤 상태인지 확인하면 상태 i에 있음을 찾을 확률이다. . 이 확률은 상태 i 의 입자 수를 시스템의 총 입자 수로 나눈 값, 즉 상태 i를 차지하는 입자의 비율과 같다.
여기서 Ni 는 상태 i 의 입자 수이고 N 은 시스템의 총 입자 수이다. 우리는 볼츠만 분포를 사용하여 우리가 보았듯이 상태 i에 있는 입자의 비율과 동일한 이 확률을 찾을 수 있다. 따라서 상태 i 의 입자 비율을 해당 상태 에너지의 함수로[5]
이 방정식은 분광학에서 매우 중요하다. 분광학에서 우리는 한 상태에서 다른 상태로 전이되는 원자 또는 분자 의 스펙트럼 라인을 관찰한다.[5][8] 이것이 가능하려면 전이를 겪을 첫 번째 상태의 일부 입자가 있어야 한다. 우리는 이 조건이 첫 번째 상태에서 입자의 분율을 구함으로써 충족됨을 알 수 있다. 무시할 수 있는 경우에는 계산이 수행된 온도에서 전이가 관찰되지 않을 가능성이 매우 높다. 일반적으로 첫 번째 상태의 분자 비율이 클수록 두 번째 상태로의 전이 횟수가 더 많다.[9] 이것은 더 강한 스펙트럼 라인을 제공한다. 그러나 스펙트럼 선의 강도에 영향을 미치는 다른 요소가 있다(예: 허용 된 전환 또는 금지된 전환) .
머신러닝에서 일반적으로 사용되는 소프트맥스 함수는 볼츠만 분포와 관련이 있다.
통계역학에서
편집볼츠만 분포는 열 평형 (에너지 교환에 대한 평형)에 있는 고정 구성의 닫힌 시스템을 고려할 때 통계 역학에서 나타난다. 가장 일반적인 경우는 표준 앙상블에 대한 확률 분포이다. 일부 특별한 경우(정규 앙상블에서 파생됨)는 다양한 측면에서 볼츠만 분포를 보여준다.
- Canonical 앙상블 (일반적인 경우)
- 표준 앙상블 은 열 수조와 열 평형 상태에서 고정 체적의 닫힌 시스템의 다양한 가능한 상태에 대한 확률을 제공한다. 표준 앙상블은 볼츠만 형식의 상태 확률 분포를 갖는다.
- 하위 시스템 상태의 통계 빈도(비상호작용 컬렉션에서)
- 관심 시스템이 더 작은 하위 시스템의 상호 작용하지 않는 많은 복사본의 모음인 경우 컬렉션 중에서 주어진 하위 시스템 상태의 통계적 빈도를 찾는 것이 때때로 유용하다. 표준 앙상블은 이러한 컬렉션에 적용될 때 분리 가능성의 속성을 갖는다. 상호 작용하지 않는 하위 시스템이 고정 구성을 갖는 한, 각 하위 시스템의 상태는 다른 하위 시스템과 독립적이며 표준 앙상블도 특징이다. 결과적 으로 하위 시스템 상태의 예상 통계적 빈도 분포는 Boltzmann 형식을 갖는다.
- 고전 가스의 Maxwell–Boltzmann 통계 (비상호작용 입자 시스템)
- 입자 시스템에서 많은 입자는 동일한 공간을 공유하고 정기적으로 서로 위치를 바꾼다. 그들이 차지하는 단일 입자 상태 공간은 공유 공간이다. Maxwell-Boltzmann 통계는 평형 상태에서 상호 작용하지 않는 입자 의 고전적인 기체에서 주어진 단일 입자 상태에서 발견되는 예상 입자 수를 제공한다. 이 예상 숫자 분포는 볼츠만 형식을 갖는다.
이러한 경우는 매우 유사하지만 중요한 가정이 변경될 때 서로 다른 방식으로 일반화되기 때문에 구별하는 것이 도움이 된다.
- 시스템이 에너지 교환 및 입자 교환 과 관련하여 열역학적 평형 상태에 있을 때 고정 구성의 요구 사항이 완화되고 표준 앙상블보다 큰 바른틀 앙상블이 획득된다. 반면에 구성과 에너지가 모두 고정되어 있으면 작은 바른틀 앙상블 이 대신 적용된다.
- 모음 내의 서브 시스템이 서로 상호 작용 할 경우, 서브 시스템의 예상 주파수는 더 이상 볼츠만 분포를 따르지 않는다.[10] 그러나 표준 앙상블은 전체 시스템이 열 평형 상태에 있는 경우 전체 시스템으로 간주되는 전체 시스템 의 집합적 상태에 여전히 적용될 수 있다.
- 상호 작용하지 않는 입자의 양자 가스가 평형 상태에 있을 때, 주어진 단일 입자 상태에서 발견되는 입자의 수는 Maxwell-Boltzmann 통계를 따르지 않으며, 표준 앙상블에서 양자 가스에 대한 단순 폐쇄형 표현이 없다. 그랜드 캐노니컬 앙상블에서 양자 가스의 상태 채우기 통계는 입자가 각각 페르미온 인지 보존 인지에 따라 페르미-디락 통계 또는 보스-아인슈타인 통계로 설명된다.
수학에서
편집보다 일반적인 수학적 설정에서 볼츠만 분포는 깁스 측정 이라고도 한다. 통계 및 기계 학습에서는 로그 선형 모델 이라고 한다. 딥 러닝에서 볼츠만 분포는 볼츠만 기계, 제한된 볼츠만 기계, 에너지 기반 모델 및 심층 볼츠만 기계와 같은 확률적 신경망 의 샘플링 분포에 사용된다. 딥 러닝에서 볼츠만 머신 은 비지도 학습 모델 중 하나로 간주된다. 딥 러닝에서 볼츠만 기계 의 설계에서 노드의 수가 증가함에 따라 실시간 응용 프로그램에서 구현의 어려움이 중요해지기 때문에 제한적 볼츠만 기계 라는 다른 유형의 아키텍처가 도입되었다.
배출권 거래에서 허가를 할당하기 위해 볼츠만 분포를 도입할 수 있다.[11][12] Boltzmann 분포를 사용하는 새로운 할당 방법은 여러 국가에서 배출 허가의 가장 가능성 있고 자연적이며 편향되지 않은 분포를 설명할 수 있다.
Boltzmann 분포는 다항 로짓 모델과 같은 형식을 갖는다. 이산 선택 모델로서 이것은 Daniel McFadden 이 무작위 효용 극대화와 연결한 이후로 경제학에서 매우 잘 알려져 있다.[13]
같이 보기
편집각주
편집- ↑ Boltzmann, Ludwig (1868). “Studien über das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten” [Studies on the balance of living force between moving material points]. 《Wiener Berichte》 58: 517–560.
- ↑ “Archived copy” (PDF). 2021년 3월 5일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2017년 5월 11일에 확인함.
- ↑ Gibbs, Josiah Willard (1902). 《Elementary Principles in Statistical Mechanics》. New York: Charles Scribner's Sons.
- ↑ Gao, Xiang; Gallicchio, Emilio; Roitberg, Adrian (2019). “The generalized Boltzmann distribution is the only distribution in which the Gibbs-Shannon entropy equals the thermodynamic entropy”. 《The Journal of Chemical Physics》 151 (3): 034113. arXiv:1903.02121. doi:10.1063/1.5111333. PMID 31325924.
- ↑ 가 나 다 라 Atkins, P. W. (2010) Quanta, W. H. Freeman and Company, New York
- ↑ 가 나 McQuarrie, A. (2000). 《Statistical Mechanics》. Sausalito, CA: University Science Books. ISBN 1-891389-15-7.
- ↑ NIST Atomic Spectra Database Levels Form at nist.gov
- ↑ Atkins, P. W.; de Paula, J. (2009). 《Physical Chemistry》 9판. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-954337-3.
- ↑ Skoog, D. A.; Holler, F. J.; Crouch, S. R. (2006). 《Principles of Instrumental Analysis》. Boston, MA: Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-12570-9.
- ↑ A classic example of this is magnetic ordering. Systems of non-interacting spins show paramagnetic behaviour that can be understood with a single-particle canonical ensemble (resulting in the Brillouin function). Systems of interacting spins can show much more complex behaviour such as ferromagnetism or antiferromagnetism.
- ↑ Park, J.-W., Kim, C. U. and Isard, W. (2012) Permit allocation in emissions trading using the Boltzmann distribution. Physica A 391: 4883–4890
- ↑ The Thorny Problem Of Fair Allocation. Technology Review blog. August 17, 2011. Cites and summarizes Park, Kim and Isard (2012).
- ↑ Amemiya, Takeshi (1985). 〈Multinomial Logit Model〉. 《Advanced Econometrics》. Oxford: Basil Blackwell. 295–299쪽. ISBN 0-631-13345-3.