부호함수

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수학에서, 부호 함수(영어: sign(um) function)는 수의 부호를 판별하는 함수이다. 기호는 .

실수 부호 함수의 그래프
복소수 부호 함수는 0이 아닌 복소수를 단위원에 사영시킨다.

정의편집

실수 부호 함수는 다음과 같이 정의된다.

 

여기서  단위 계단 함수,  지시 함수이다. 즉, 실수 부호 함수는 양수는 1, 0은 0, 음수는 -1을 값으로 한다.

보다 일반적으로, 복소수 부호 함수는 다음과 같이 정의된다.

 

여기서  절댓값,  편각이다. 즉, 복소수의 부호 함숫값은 0의 경우 0, 0이 아닌 경우 복소평면단위원에 대한 사영이다.

성질편집

항등식편집

모든 복소수  는 부호 함수와 절댓값의 곱으로 나타낼 수 있다.

 

0이 아닌 실수  의 경우 이로부터 다음과 같은 항등식들을 얻을 수 있다.

 
 

복소수 부호 함수는 곱셈 및 나눗셈 및 덧셈 역원 및 켤레 복소수를 보존한다. 즉, 복소수  에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

 
 
 
 

복소수 부호 함수와 절댓값의 합성은 다음과 같다.

 

복소수 부호 함수는 멱등 함수이다. 즉, 복소수  에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.

 

미분편집

실수 부호 함수는 0을 제외한 모든 점에서 미분 가능 함수이며, 그 도함수는 0이다. 0은 이 함수의 불연속점이다. 분포로서의 도함수는 어디서나 정의되며, 디랙 델타 함수의 2배이다.

 

적분편집

실수 부호 함수의 정적분은 다음과 같다.

 

외부 링크편집