복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소
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가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 의 극분해는 다음과 같은 조건들을 만족시키는 순서쌍 이다.
- 는 유계 작용소이다.
- 이다.
- 의 경우, 는 등거리 변환이다. (그러나 단사 함수일 필요도, 전사 함수일 필요도 없다.)
- 는 유계 자기 수반 작용소이며, 임의의 에 대하여 이다.
- 이다. (여기서 은 폐포이다.)
사실, 항상
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임을 보일 수 있다.
복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 의 극분해 는 항상 존재하며, 항상 유일하다.
는 로 생성되는 C* 대수의 원소이다. 는 로 생성되는 폰 노이만 대수의 원소이다. 만약 가 의 가역원이라면 (즉, 전단사 함수이며 유계 역함수를 갖는다면), 는 로 생성되는 C* 대수의 원소이다.
이에 따라, 임의의 폰 노이만 대수의 원소의 극분해를 마찬가지로 정의할 수 있다. 또한, C* 대수의 가역원의 경우 마찬가지로 극분해를 정의할 수 있다.
만약 가 유한 차원이며 가 가역 행렬이라면, 의 극분해 에서 는 유니터리 작용소가 된다. 그러나 만약 가 무한 차원이라면 그럴 필요는 없다.
또한, 가 유한 차원일 때,
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이므로
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이다.
임의의 복소수 를 유계 작용소 로 간주할 때, 그 극분해는 절댓값과 편각으로의 분해와 같다.
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보다 일반적으로, 위의 대각 행렬
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의 극분해는 다음과 같다.
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르베그 공간
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을 생각하자. 그 위의 시프트 연산자
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를 생각하자. 이 경우,
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이므로 극분해 는
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이다. 특히, 는 유니터리 작용소가 되지 못한다.