수학에서 사상(寫像, 문화어: 살, 범사, 영어: morphism 모피즘[*])은 수학적 구조를 보존하는 함수의 개념을 추상화한 것이다. 예를 들어 집합의 사상은 임의의 함수이며, 의 사상은 군 준동형, 위상 공간의 사상은 연속 함수이다.

범주론은 대상과 사상으로 이루어진 범주를 연구하는 분야이다. 구체적 범주에서 대상은 집합 위에 특정한 구조가 주어진 것이고 사상은 그 구조를 보존하는 함수이나, 일반적인 범주에서 대상은 꼭 집합일 필요가 없고 사상은 단순히 대상들 사이의 '화살표'일 뿐이다.

사상이라는 용어는 영어 map에 대응하기도 하는데, 이 경우 맥락에 따라 함수(function)와 사상(morphism) 모두의 의미로 사용될 수 있다.

정의 편집

범주  는 '대상'의 모임  와 '사상'의 모임  로 이루어져 있다. 각 사상은 '정의역'과 '공역'을 갖는데, 이들은 둘 다  의 대상이다. 사상  의 정의역이  이고 공역이  일 때 이를  로 나타낸다.  에서  로의 모든 사상의 모임을   혹은 간단히  로 나타내고, 이를    사이의 사상 모임(영어: hom-class)이라 하며, 이것이 집합인 경우에는 사상 집합(영어: hom-set)이라 한다. (이를   혹은   등으로 나타내는 저자도 있다.)

임의의 세 대상  에 대해,  에서  로 가는 이항연산이 존재하며, 이를 사상의 합성이라 부른다. 사상   의 합성은   혹은  로 쓴다. (일부 저자는  로 쓰기도 한다.) 많은 경우 사상의 합성을 아래와 같은 가환 그림으로 나타낸다.

사상들은 다음의 두 공리를 만족해야 한다.

  • (결합법칙)  이면  .
  • (항등사상) 임의의 대상  에 대해 유일한 사상  이 존재하여, 임의의 사상  에 대해  이다. 여기에서  를 ' 의 항등사상'이라고 한다.

C가 구체적 범주일 때, 합성은 보통의 함수의 합성과 일치하며, 항등사상은 단순한 항등함수이다. 함수의 합성은 결합법칙을 만족하므로 위의 결합법칙 조건도 자명하게 성립한다.

사상의 종류 편집

단사 사상 편집

 가 사상이라 하자. 임의의 사상  에 대해   함의하면  단사 사상이라 한다. 또한,  를 만족하는 사상  가 존재하면 이를  좌 역사상(left-inverse)이라 한다. 좌 역사상을 갖는 사상은 전부 단사이나, 그 역은 성립하지 않는다. 단사 사상이 좌 역사상을 가지면 이를 분해 단사 사상(split monomorphism)이라 한다. 구체적 범주에서 좌 역함수를 갖는 함수는 단사 함수와 일치하므로 모든 단사 함수는 단사 사상이다. 정리하자면, 단사 함수 조건은 단사 사상 조건보다는 강하지만 분해 단사 사상 조건보다는 약하다.

전사 사상 편집

쌍대 개념으로, 임의의 사상  에 대해   를 함의하면  전사 사상이라 한다. 또한,  를 만족하는 사상  가 존재하면 이를 f의 우 역사상(right-inverse)이라 한다. 우 역사상을 갖는 사상은 전부 전사이나, 그 역은 성립하지 않는다. 전사 사상이 우 역사상을 가지면 이를 분해 전사 사상(split epimorphism)이라 한다. 구체적 범주에서 우 역함수를 갖는 함수는 전사 함수와 일치하며, 이 조건은 전사 사상 조건보다는 강하지만 분해 전사 사상 조건보다는 약하다. 집합의 범주에서 모든 전사 함수가 우 역함수를 가진다는 것은 선택 공리와 동치이다.

  • 참고: 분해 단사 사상  가 좌 역사상  를 가지면,   를 우 역사상으로 갖는 분해 전사 사상이다.

자기 사상 편집

정의역과 공역이 같은 사상을 자기 사상이라고 한다. 동형 사상 가운데 자기 사상인 것을 자기 동형 사상이라고 한다.

같이 보기 편집