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대수적 수론에서, 주어진 다항식분해체(分解體, 영어: splitting field)는 그 다항식을 완전히 인수 분해할 수 있는 체의 확대 중 가장 작은 것이다.

정의편집

 라고 하고,  가 하나의 변수에 대한  다항식이라고 하자. 그렇다면   에 대한 분해체  는 다음을 만족시키는  확대이다.

  1. 다항식   로 완전 인수 분해된다.
  2.  은 위 성질은 만족시키는 체의 확대 가운데 그 차수가 가장 작다.

이 성질은 만족시키는 체의 확대는 (동형사상을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.

구성편집

분해체는 다음과 같이 나타낼 수 있다.  에 대한, 기약 다항식  의 분해체  은 다음과 같다.

 

여기서   에 의해 생성되는  소 아이디얼이다.  주 아이디얼 정역이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이며, 극대 아이디얼에 대한 몫환를 이루므로,  이 체임을 알 수 있다.

기약이지 않은 다항식  의 경우, 기약다항식들의 곱

 

으로 인수 분해하여, 분해체  

 
 
 

로 나타낼 수 있다. 이는  의 순서에 (체의 확대의 동형을 무시하면) 관계없음을 보일 수 있다.

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복소수체  는 실수체  에 대하여 기약 다항식  의 분해체다. 즉,

 

이다.

유리수체  에 대하여 기약 다항식  의 분해체는

 

이다.

외부 링크편집

같이 보기편집