분해체

대수적 수론에서, 주어진 다항식의 분해체(分解體, 영어: splitting field)는 그 다항식을 완전히 인수 분해할 수 있는 체의 확대 중 가장 작은 것이다.

정의

$K$가 체라고 하고, $p(x)\in K[x]$가 하나의 변수에 대한 $n$차 다항식이라고 하자. 그렇다면 $p$의 $K$에 대한 분해체 $L/K$는 다음을 만족시키는 $K$의 확대이다.

1. 다항식 $p$가 $p(x)=\prod _{i=1}^{\deg p}(x-a_{i})\in L[x]$로 완전 인수 분해된다.
2. $L$은 위 성질은 만족시키는 체의 확대 가운데 그 차수가 가장 작다.

이 성질은 만족시키는 체의 확대는 (동형사상을 제외하면) 유일함을 보일 수 있다.

구성

분해체는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $K$에 대한, 기약 다항식 $p$의 분해체 $L$은 다음과 같다.

$L\cong K[x]/(p(x))$

여기서 $(p(x))$는 $p(x)$에 의해 생성되는 $K[x]$의 소 아이디얼이다. $K[x]$는 주 아이디얼 정역이고, 주 아이디얼 정역에서 0이 아닌 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이며, 극대 아이디얼에 대한 몫환은 체를 이루므로, $L$이 체임을 알 수 있다.

기약이지 않은 다항식 $p$의 경우, 기약다항식들의 곱

$p=f_{1}f_{2}\dots f_{k}$

으로 인수 분해하여, 분해체 $L$을

$K_{0}=K$

$K_{i+1}=K_{i}[x]/(f_{i}(x))$

$L=K_{k}$

로 나타낼 수 있다. 이는 $f_{i}$의 순서에 (체의 확대의 동형을 무시하면) 관계없음을 보일 수 있다.

예

복소수체 $\mathbb {C}$는 실수체 $\mathbb {R}$에 대하여 기약 다항식 $x^{2}+1$의 분해체다. 즉,

$\mathbb {C} \cong \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$

이다.

유리수체 $\mathbb {Q}$에 대하여 기약 다항식 $x^{3}-2$의 분해체는

$\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\exp(2\pi i/3))$

이다.

외부 링크

• “Splitting field of a polynomial”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Splitting field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

같이 보기

• 최소 다항식
• 정규 확대
• 갈루아 확대