최소 다항식

체에 대한 결합 대수의 원소를 소멸하는 가장 낮은 차수의 일계수 다항식

추상대수학에서, 최소 다항식(最小多項式, 영어: minimal polynomial)은 에 대한 결합 대수의 원소가 만족시키는 가장 간단한 일계수 다항식이다.[1]

정의편집

 에 대한 멱결합 대수  의 원소  에 대하여, 다음과 같은 집합을 정의하자.

 

(만약  가 1을 갖지 않는다면,  이다.) 그렇다면   아이디얼이다.  주 아이디얼 정역이므로, 이는 항상 주 아이디얼이다. 그렇다면 다음과 같은 두 가지 경우가 존재한다.

  •  이다. 이 경우,  초월원이며,  초월 대수이다.
  •  가 되는 일계수 다항식  가 존재한다. 이 경우,   최소 다항식이라고 한다. (이러한 일계수 다항식은 유일하며,  에 속하는 다른 모든 일계수 다항식들은  보다 차수가 더 크다.)

성질편집

멱결합 대수의 원소가 최소 다항식을 가질 필요충분조건대수적 원소이다. 따라서 대수적 대수(특히 유한 차원 대수)의 모든 원소는 최소 다항식을 갖는다.

체의 확대편집

체의 확대  에 대하여,  은 가환  -단위 결합 대수를 이룬다. 체의 확대에서, 최소 다항식은 항상 기약 다항식이다. 귀류법을 써서,  에서  의 최소 다항식  가 인수 분해가 가능하다면 ( ),  정역이므로  이거나  이며,  이다. 그러나   의 최소 차수 일계수 다항식이므로, 이는 불가능하다.

대수적 확대  에서,  완전체라면 임의의  에 대하여  의 (대수적 폐포  에서의) 근들은 서로 겹치지 않는다. 그러나  가 완전체가 아닐 경우 이는 성립하지 않을 수 있으며, 이 경우  분해 가능 확대가 아니라고 한다.

행렬편집

  위의   정사각 행렬의 유한 차원  -단위 결합 대수  에서, 임의의 행렬  은 최소 다항식을 갖는다. 행렬의 최소 다항식은 행렬의 닮음에 대하여 불변이다. 즉, 가역 행렬  에 대하여,   의 최소 다항식은 같다. 또한, 만약   를 포함하는 더 큰 체일 경우,   에서의 최소 다항식과  에서의 최소 다항식은 일치한다.

  위의   행렬  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  의 최소 다항식은 1차 다항식들의 곱이다.
  •  삼각화 가능 행렬이다.

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  의 최소 다항식은 서로 다른 1차 다항식들의 곱이다.
  •  대각화 가능 행렬이다.

케일리-해밀턴 정리에 따라,  의 최소 다항식은 특성 다항식을 나눈다. 또한 최소 다항식과 특성 다항식의 근의 집합은 (중복도를 무시하면) 일치한다. 보다 일반적으로,  의 최소 다항식의 소인수 분해

 

라면,

 
 
 

이다.[2]:196, §6.3, (6-8); 237, §7.2, Theorem 4

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체의 확대  에서,  라면,  이다.

실수체의 확대인 복소수체  에서,  의 최소 다항식은 다음과 같다.

 

실수 행렬

 

의 특성 다항식은

 

이며, 이는 이미 중복되지 않는 1차 다항식들의 곱이다. 최소 다항식은 특성 다항식을 나누고 특성 다항식과 같은 근의 집합을 가져야 하므로,  의 최소 다항식 역시

 

이다.

대수적 수체편집

이차 수체  에서,  제곱 인수가 없는 정수라고 하자. 그렇다면  의 최소 다항식은  이다.

   위에서의 최소 다항식은 다음과 같다.

 

원분체  에서,  의 최소 다항식은 원분 다항식(영어: cyclotomic polynomial)  이라고 하며, 다음과 같다.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

특히,  소수일 경우

 

이다.

분해 가능 확대가 아닌 확대에서의 최소 다항식편집

분해 가능 확대가 아닌 체의 확대  에서,  의 최소 다항식은

 

이다. 이 경우,   위에서

 

이다. 즉,  는 분해 가능 다항식이 아니다.

참고 문헌편집

  1. Goldberg, Moshe (2007년 8월). “Minimal Polynomials and Radii of Elements in Finite-Dimensional Power-Associative Algebras” (PDF). 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 359 (8): 4055–4072. doi:10.1090/S0002-9947-06-04296-6. ISSN 0002-9947. JSTOR 20161761. MR 2302523. 
  2. Hoffman, Kenneth (1971). 《Linear Algebra》 (영어) 2판. Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall. ISBN 0-13-536797-2. 

같이 보기편집

외부 링크편집