분해 가능 확대

(분해 가능 폐포에서 넘어옴)

체론에서, 분해 가능 확대(分解可能擴大, 영어: separable extension)는 최소 다항식의 근들이 겹치지 않는 대수적 확대이다.

정의편집

 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 기약 다항식  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 기약 다항식을 분해 가능 다항식(分解可能多項式, 영어: separable polynomial)이라고 한다.

  • 모든 체의 확대   에 대하여,   속에서  이다.
  •  인 체의 확대  가 존재한다.
  • 모든 체의 확대   에 대하여,  임은 불가능하다.
  • 형식적 도함수  에 대하여,  이다.

최소다항식은 항상 기약 다항식이다. 대수적 확대  에 대하여, 만약 모든  에 대하여 그 최소다항식  이 분해 가능 다항식이라면  분해 가능 확대라고 한다.

 에 대하여, 그 대수적 폐포   속에서,  에 대하여 최소다항식이 분해 가능한 원소들의 집합   의 부분체를 이루며, 이를  분해 가능 폐포(分解可能閉包, 영어: separable closure)라고 한다.  의 분해 가능 폐포는 (동형을 무시하면) 유일하다. (다만, 대수적 폐포는 표준적이지 않으므로, 서로 다른 두 분해 가능 폐포 사이의 동형은 표준적이지 않다.)  의 분해 가능 확대는  의 최대 갈루아 확대이다.

대수적 확대  에 대하여, 만약 모든  에 대하여 그 최소다항식  이 분해 가능 다항식이 아니라면  완전 비분해 확대(完全非分解擴大, 영어: purely inseparable extension)라고 한다.

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완전체대수적 확대는 항상 분해 가능 확대이다. 즉, 분해 불가능 확대는 양의 표수에서만 존재하는 현상이다.

대수적 확대

 

정규 확대이지만 분해 가능 확대가 아니다.  의 최소 다항식은

 

인데,  에서 이는

 

와 같이 인수분해되므로 분해 가능하지 않다.

참고 문헌편집

외부 링크편집