비 판정법

이웃한 두 항의 비를 사용하는, 급수의 수렴 판정법

미적분학에서 비 판정법(比判定法, 영어: ratio test) 또는 달랑베르 비 판정법(영어: d'Alembert's ratio test) 또는 코시 비 판정법(영어: Cauchy ratio test)은 양의 실수 항의 급수수렴 여부를 가리는 수렴 판정법이다. 실수 항의 급수의 절대 수렴 여부를 판단할 수도 있다. 이웃하는 두 항의 비의 극한을 사용한다. 공비에 따른 기하급수의 수렴 여부에 기반한다. 다른 급수를 “표준 급수”로 삼아 더 정교한 판정법을 만들 수 있다. 그러나 이렇게 만든 판정법은 모든 급수에 대하여 유효할 수 없다. 즉, 임의의 급수에 대하여, 이 급수에 기반한 판정법이 효력을 잃는 급수를 구성할 수 있다.

정의와 증명

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양의 실수 항 급수  가 주어졌다고 하자 ( ). 또한, 극한

 

가 존재한다고 하자. 비 판정법에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 만약  이라면,  은 수렴한다.
  • 만약  이라면,  은 발산한다.

증명:

만약  이며,  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 따라서 임의의  에 대하여,

 

이다.  이므로, 기하급수  은 수렴한다. 비교 판정법에 따라, 급수  은 수렴한다.

만약  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,  은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수  은 발산한다.

보다 일반적으로, 양의 실수 항 급수  가 주어졌다고 하자 ( ). 또한,

 
 

라고 하자 (이는 항상 존재하며, 항상  이다). 비 판정법에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 만약  이라면,  은 수렴한다.
  • 만약  이라면,  은 발산한다.

만약 극한  이 존재한다면  이다. 따라서 후자가 더 일반적인 결과다. 만약  이라면 (특히, 만약  이라면), 비 판정법을 적용할 수 없으므로 다른 방법을 사용하여야 한다. 만약 충분히 큰  에 대하여  이라면,  일 수 없으므로  은 발산한다. (만약  이라면 이 조건이 성립한다. 만약 이 조건이 성립한다면  이지만,  일 필요는 없다.) 근 판정법이나 라베 판정법 등 더 정교한 방법을 사용할 수도 있다.

증명:

만약  이며,  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 따라서 임의의  에 대하여,

 

이다.  이므로, 기하급수  은 수렴한다. 비교 판정법에 따라, 급수  은 수렴한다.

만약  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,  은 양의 실수의 증가수열이며, 특히 0으로 수렴할 수 없다. 따라서, 급수  은 발산한다.

수렴급수

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급수  을 생각하자.  이라고 하자. 이웃하는 두 항의 비의 극한은

 

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.

급수  을 생각하자.  이라고 하자. 그렇다면,

 

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 수렴한다.

급수  를 생각하자. 이는 양의 실수 항의 급수가 아니지만, 비 판정법을 사용하여 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다.  이라고 하자. 그렇다면,

 

비 판정법에 의하여, 이 급수는 절대 수렴하며, 특히 수렴한다.

발산급수

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급수  을 생각하자.  이라고 하자. 그렇다면,

 

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.

급수  을 생각하자.  이라고 하자. 그렇다면,

 

이다. 비 판정법에 의하여, 이 급수는 발산한다.

급수  을 생각하자. 자명하게  이다. 하지만  이라고 하였을 때, 충분히 큰  에 대하여  이다. 따라서 비 판정법의 더 일반적인 형태에 의하여, 이 급수는 발산한다. 사실, 비 판정법을 사용하지 않더라도, 이 급수의 항이 0으로 수렴하지 않음은 자명하므로, 급수가 발산함은 자명하다.

라베 판정법

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정의와 증명

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양의 실수 항 급수  가 주어졌다고 하자 ( ). 라베 판정법(영어: Raabe’s test)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 만약  이라면,  은 수렴한다.
  • 만약  이라면,  은 발산한다.

만약  이라면  이며, 만약  이라면  이다. 따라서 라베 판정법은 비 판정법을 일반화한다. 라베 판정법은 급수  의,  에 따른 수렴 여부에 기반한다. 이 급수는  일 때 수렴하며,  일 때 발산한다. (이는 코시 응집 판정법이나 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서,  을 다음 조건으로 약화하여도 명제가 성립한다. “충분히 큰  에 대하여,  .”

증명:

임의의  이 주어졌을 때, 어떤   및 임의의  에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

 

이는

 
 

라고 하였을 때

 
 

이며,  연속 함수이기 때문이다.

만약  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,

 

이다. 따라서, 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,

 

이다. 급수  가 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수  은 수렴한다.

만약  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,

 

이다. 따라서, 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,

 

이다. 조화급수  은 발산하므로, 비교 판정법에 따라 급수  은 발산한다.

급수  를 생각하자.  이라고 하자. 그렇다면,

 

이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. (라베 판정법의 표준적인 증명은 이 급수가 수렴한다는 사실을 사용한다는 데 주의하자.) 적분 판정법이나 코시 응집 판정법을 사용할 수도 있다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.

급수  를 생각하자.  이라고 하자. 그렇다면,

 

이다. 라베 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 비 판정법이나 근 판정법으로는 이 급수의 수렴 여부를 알 수 없다.

베르트랑 판정법

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정의와 증명

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양의 실수 항 급수  가 주어졌다고 하자 ( ). 베르트랑 판정법(영어: Raabe’s test)에 따르면, 다음이 성립한다.

  • 만약  이라면,  은 수렴한다.
  • 만약  이라면,  은 발산한다.

만약  이라면,  이다. 만약  이라면,  이다. 따라서 베르트랑 판정법은 라베 판정법보다 강하다. 베르트랑 판정법의 본질은 주어진 급수를 급수   ( )와 비교하는 것이다. 이 급수는  일 때 수렴하며,  일 때 발산한다. (이는 적분 판정법을 통하여 보일 수 있다.) 두 번째 명제에서,   조건은 “충분히 큰  에 대하여  ” 조건으로 약화할 수 있다.

증명:

라베 판정법의 증명에서 다음 사실을 증명하였다. 임의의  이 주어졌을 때, 어떤   및 임의의  에 대하여 다음 부등식이 성립한다.

 

베르트랑 판정법의 증명은 다음 사실을 추가로 사용한다. 임의의  에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

 

이는

 
 

라고 하였을 때

 
 

이기 때문이다.

만약  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 급수  이 수렴하므로, 비교 판정법에 따라 급수  은 수렴한다.

만약  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 급수  이 발산하므로, 비교 판정법에 따라 급수  은 발산한다.

급수  를 생각하자. 이는 양의 항의 급수가 아니지만, 베르트랑 판정법을 사용하여 절대 수렴 여부를 판단할 수 있다.  이라고 하자. 그렇다면,

 

이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 절대 수렴하지 않는다. (이 사실은 베르트랑 판정법의 증명에서 사용된다.) 이 급수는 양의 항의 급수가 아니므로, 수렴 여부를 판단하려면 다른 방법을 사용해야 한다. 교대급수 판정법에 따라, 이 급수는 수렴한다. 즉, 이 급수는 조건 수렴한다. 비 판정법이나 근 판정법 또는 라베 판정법으로는 이 급수의 절대 수렴 여부를 알 수 없다.

급수  를 생각하자.  이라고 하자. 그렇다면,

 

이다. 베르트랑 판정법에 따라, 이 급수는 발산한다. 사실,  이지만, 충분히 큰  에 대하여  이다. 따라서 베르트랑 판정법 대신 라베 판정법의 약간 더 일반적인 형태를 사용하여도 좋다.

쿠머 판정법

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양의 실수 항 급수  가 주어졌다고 하자 ( ). 쿠머 판정법(영어: Kummer’s test)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.[1]:Theorem, (1)

  •  은 수렴한다.
  • 어떤 양의 실수의 수열   ( )에 대하여,  

마찬가지로, 다음 두 조건이 서로 필요충분조건이다.[1]:Theorem, (2)

  •  은 발산한다.
  • 어떤 양의 실수의 수열   ( )에 대하여,  은 발산하며, 모든  에 대하여  

증명 (충분성):

만약  이 양의 실수의 수열이며  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 따라서  은 양의 실수로 구성된 감소 수열이며, 특히 수렴한다. 양의 실수 항 급수  을 생각하자. 이 급수의 부분합은

 

이다. 따라서 이 급수는 수렴한다.  이므로, 비교 판정법에 의하여   역시 수렴한다.

만약  이 양의 실수의 수열이며,  이 발산하며,  이라면, 어떤   및 임의의  에 대하여

 

이다. 따라서, 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,

 

이다. 비교 판정법에 의하여  은 발산한다.

증명 (필요성):

만약 양의 실수 항 급수  이 수렴한다면,

 

은 양의 실수의 수열이며, 임의의  에 대하여

 

이다.

만약 양의 실수 항 급수  이 발산한다면,

 

은 양의 실수의 수열이며, 임의의  에 대하여

 

이다. 이제,  임을 보이는 일만 남았다. 임의의  이 주어졌을 때 어떤  에 대하여

 

임을 보이면 충분하다. (그렇다면 급수의 부분합은 코시 열이 아니며, 따라서 이 급수는 발산한다.) 급수  이 발산하므로, 임의의  이 주어졌을 때 어떤  에 대하여

 

이다. 따라서

 

이다.

쿠머 판정법의 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.

  수렴 판정법
  비 판정법
  라베 판정법
  베르트랑 판정법

다른 판정법과 달리, 쿠머 판정법은 양의 항의 급수가 수렴·발산할 필요충분조건을 제시하며,[1] 모든 급수에 대하여 유효하다. 하지만 쿠머 판정법은 적절한  을 찾는 방법을 제공하지 않는다. 또한, 모든 급수에 대하여 유효한 하나의  은 존재하지 않는다. 구체적으로, 임의의 양의 실수 항 수렴급수  에 대하여,  인 양의 실수 항 수렴급수  가 존재하며, 또한 임의의 양의 실수 항 발산급수  에 대하여,  인 양의 실수 항 발산급수  가 존재한다.

역사

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비 판정법은 장 르 롱 달랑베르가 처음 발표하였다. 쿠머 판정법(의 충분성 부분)은 1835년에 에른스트 쿠머가 제시하였다.[2] 이후 반 세기 동안 수 차례 재발견되었으며, 최초의 발견자에 대하여 논란이 일었다.[1]

같이 보기

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각주

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  1. Tong, Jingcheng (1994). “Kummer's Test Gives Characterizations for Convergence or Divergence of all Positive Series”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 101 (5): 450–452. doi:10.2307/2974907. ISSN 0002-9890. JSTOR 2974907. MR 1272945. Zbl 0804.40001. 
  2. Kummer, Ernst Eduard (1835). “Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen”. 《Journal für die Reine und Angewandte Mathematik》 (영어) 13: 171–184. doi:10.1515/crll.1835.13.171. ISSN 0075-4102. MR 1578040. Zbl 013.0480cj. 

외부 링크

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