단조함수

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수학에서 단조 함수(單調函數, 영어: monotonic function)는 주어진 순서를 보존하는 함수이다. 기하학적으로, 실수 단조 함수의 그래프는 왼쪽에서 오른쪽으로 줄곧 상승하거나 줄곧 하강한다. 대수학적으로, 단조 함수는 두 순서 집합 사이의 준동형이다.

단조 증가. 강한 단조 증가는 아니다.

정의

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실수 구간  정의역, 실수 집합  공역으로 하는 함수  이 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 단조 함수라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  이면  . 이 경우,  증가 함수(增加函數, 영어: increasing function)라고 하고,  단조 증가(영어: monotonically increasing)한다고 한다.
  • 임의의  에 대하여,  이면  . 이 경우,  감소 함수(減少函數, 영어: decreasing function)라고 하고,  단조 감소(영어: monotonically decreasing)한다고 한다.

만약 다음 두 조건 중 하나를 만족시키면, 강한 단조 함수(영어: strictly monotonic function)라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  이면  . 이 경우,  강한 증가 함수(영어: strictly increasing function)라고 한다.
  • 임의의  에 대하여,  이면  . 이 경우,  강한 감소 함수(영어: strictly decreasing function)라고 한다.

즉, 단조 함수는 순서 관계  를 보존하거나 반전시키는 함수이며, 강한 단조 함수는 절대 순서 관계  를 보존하거나 반전시키는 함수이다. 강한 단조 함수는 단조 함수보다 강한 개념이다. 예를 들어, 단조 함수는 어떤 부분 구간에서 줄곧 상수일 수 있으나, 강한 단조 함수는 그럴 수 없다.

실수 부분 집합  에서 실수 집합  로 가는 함수  의, 부분 구간  에서의 단조성은,   로의 제한  의 단조성을 뜻한다.

보다 일반적으로, 두 부분 순서 집합  ,  사이의 순서 보존 사상(順序保存寫像, 영어: order-preserving map)은 임의의  에 대하여  이면  인 함수  이다. 즉, 두 부분 순서 집합 사이의 준동형이다. 두 부분 순서 집합 사이의 순서 반전 사상(영어: order-reversing map)은 임의의  에 대하여  이면  인 함수  이다. 즉, 첫번째 부분 순서 집합과 두번째 부분 순서 집합 사이의 역순서 준동형이다.

미분과 단조성

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미분은 함수의 단조성을 판별하는 좋은 도구이다.

미분 가능한 실수 함수  와 부분 구간  에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

  •   에서 단조 증가할 필요 충분 조건은, 임의의  에 대하여,  인 것이다.[1]
  •   에서 단조 감소할 필요 충분 조건은, 임의의  에 대하여,  인 것이다.[1]

같은   에 대하여, 강한 단조 함수에 대한 다음 성질들도 성립한다.

  •   에서 강한 증가 함수일 필요 충분 조건은, 임의의  에 대하여,  이며, 임의의  에 대하여  인 부분 구간  가 존재하지 않는 것이다.
  •   에서 강한 감소 함수일 필요 충분 조건은, 임의의  에 대하여,  이며, 임의의  에 대하여  인 부분 구간  가 존재하지 않는 것이다.

특히, 만약  에서 항상  이거나, 항상  이면,   에서 강한 단조 함수이다.[1] 그러나 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 함수  은 실수 전체에서 강한 증가 함수이지만,  이다.

구간  에 정의된 실수 단조 함수  에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

이에 따라, 연속 함수가 아니거나 미분 불가능한 단조 함수의 성질은 상당히 제한된다.

같이 보기

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각주

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  1. Robert G. Bartle; Donald R. Sherbert (2006). 강수철 역, 편집. 《실해석학개론》. 범한서적. 220~221쪽. ISBN 897129177X. 
  2. Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》. International Series in Pure and Applied Mathematics (영어) 3판. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.