쌍순환군

군론에서 쌍순환군(雙循環群, 영어: dicyclic group) 또는 일반화 사원수군(一般化四元數郡, 영어: generalized quaternion group)은 짝수 크기의 순환군의 2배 확대이다. 사원수군의 일반화이다.

정의

아벨 군 $A$ 및 차수 2의 원소 $y\in A$가 주어졌을 때, 쌍순환군 $\operatorname {Dic} (A,y)$는 다음 조건들을 만족시키는 군 $G\geq A$이다.

• 부분군의 지표는 $[G:A]=2$
• $G$는 $A$와 어떤 $x\in G\setminus A$에 의하여 생성되며, 또한 $x^{2}=y$이며 $x^{-1}ax=a^{-1}$이다.

이러한 군은 항상 유일하다. 만약 $A$의 군의 표시가

$A=\langle \{a_{i}\}_{i\in I}|R\rangle$

라면, $\operatorname {Dic} (A,y)$의 표시는 다음과 같다.

$\operatorname {Dic} (A,y)=\langle \{a_{i}\}_{i\in I},x|R,\;x^{-1}a_{i}x=a_{i}^{-1},\;x^{2}=y\rangle$

짝수 크기의 순환군 $\operatorname {Cyc} (2n)=\langle a|a^{2n}=1\rangle$의 경우, 차수가 2인 원소 $a^{n}$이 유일하게 존재한다. $\operatorname {Cyc} (2n)$에 대한 쌍순환군을 $\operatorname {Dic} (n)$이라고 한다. 이 군의 표시는 다음과 같다.^:347–348

$\operatorname {Dic} (n)=\langle a,x|a^{2n}=1,\;x^{2}=a^{n},\;x^{-1}ax=a^{-1}\rangle$

이는 다음과 같은 사원수 가역원군의 부분군으로 나타낼 수 있다.

$\operatorname {Dic} (n)=\{\exp(i\pi m/n)j^{k}\colon m,k\in \mathbb {Z} \}$

성질

다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to A\hookrightarrow \operatorname {Dic} (A,y)\twoheadrightarrow \operatorname {Cyc} (2)\to 1$

그러나 이는 분할 완전열이 아니다.

다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

${\begin{matrix}\operatorname {Dic} (A,y)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Dih} (A/\langle y\rangle )\\\cup &&\cup \\A&\twoheadrightarrow &A/\langle y\rangle \end{matrix}}$

여기서 $\operatorname {Dih} (A/\langle y\rangle )\cong (A/\langle y\rangle )\rtimes \operatorname {Cyc} (2)$는 정이면체군이다.

예

낮은 차수의 쌍순환군은 다음과 같다.

$\operatorname {Dic} (1)\cong \operatorname {Cyc} (4)$

$\operatorname {Dic} (2)\cong Q_{8}$ (사원수군)

$\operatorname {Dic} (3)\cong \operatorname {Cyc} (3)\rtimes \operatorname {Cyc} (4)$

$\operatorname {Dic} (6)\cong \operatorname {Cyc} (3)\rtimes Q_{8}$

$\operatorname {Dic} (7)\cong \operatorname {Cyc} (7)\rtimes \operatorname {Cyc} (4)$

$\operatorname {Dic} (3)$의 반직접곱 표현에서, $\operatorname {Cyc} (4)$의 $\operatorname {Cyc} (3)$ 위의 작용은 다음과 같다.

$\operatorname {Cyc} (3)=\langle a|a^{3}=1\rangle$

$\operatorname {Cyc} (4)=\langle b|b^{4}=1\rangle$

$b\colon {\begin{cases}1\mapsto 1\\a\mapsto a^{2}\\a^{2}\mapsto a\end{cases}}$

외부 링크

• “Dicyclic group”. 《Groupprops》 (영어).