음이 아닌 실수
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
≥
0
{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\geq 0}
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
{\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
x
n
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
{\displaystyle x^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}
x
n
=
x
1
x
2
⋯
x
n
⟺
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x^{n}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
이를 수학적 귀납법 으로 증명할 수 있다.
우선,
n
=
1
{\displaystyle n=1}
그 다음,
n
{\displaystyle n}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
x
n
+
1
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
+
1
{\displaystyle x^{n+1}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}}
x
n
+
1
=
x
1
x
2
⋯
x
n
+
1
⟺
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
+
1
{\displaystyle x^{n+1}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}}
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
1
n
+
1
{\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n+1}}{n+1}}}
을 보이자.
만약
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
+
1
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n+1}}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
x
n
>
x
>
x
n
+
1
{\displaystyle x_{n}>x>x_{n+1}}
(
x
n
−
x
)
(
x
−
x
n
+
1
)
>
0
{\displaystyle (x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0}
이다. 또한, 양의 실수
y
=
x
n
+
x
n
+
1
−
x
≥
x
n
−
x
>
0
{\displaystyle y=x_{n}+x_{n+1}-x\geq x_{n}-x>0}
를 정의하면, 다음에 따라,
x
{\displaystyle x}
n
{\displaystyle n}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
,
y
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1},y}
n
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
x
n
+
x
n
+
1
−
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
−
1
+
y
{\displaystyle {\begin{aligned}nx&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}+x_{n+1}-x\\&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}+y\end{aligned}}}
귀납 가정에 따라,
x
n
+
1
=
x
n
x
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
y
x
{\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx}
이며, 또한 ①에 따라
y
x
−
x
n
x
n
+
1
=
(
x
n
+
x
n
+
1
−
x
)
x
−
x
n
x
n
+
1
=
(
x
n
−
x
)
(
x
−
x
n
+
1
)
>
0
{\displaystyle yx-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}+x_{n+1}-x)x-x_{n}x_{n+1}=(x_{n}-x)(x-x_{n+1})>0}
이므로,
y
x
>
x
n
x
n
+
1
{\displaystyle yx>x_{n}x_{n+1}}
이다. ②와 ③에 따라,
x
n
+
1
=
x
n
x
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
y
x
≥
x
1
x
2
⋯
x
n
−
1
x
n
x
n
+
1
{\displaystyle x^{n+1}=x^{n}x\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}yx\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}x_{n}x_{n+1}}
④에서,
x
>
0
{\displaystyle x>0}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
−
1
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
만약
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}
이라면, 산술 평균과 기하 평균은
x
1
{\displaystyle x_{1}}
만약 서로 다른 두 항이 존재한다면, 당연히
n
>
1
{\displaystyle n>1}
서로 다른 두 항
x
1
,
x
2
{\displaystyle x_{1},x_{2}}
(
x
1
+
x
2
2
)
2
−
x
1
x
2
=
1
4
(
x
1
2
+
2
x
1
x
2
+
x
2
2
)
−
x
1
x
2
=
1
4
(
x
1
2
−
2
x
1
x
2
+
x
2
2
)
=
(
x
1
−
x
2
2
)
2
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)^{2}-x_{1}x_{2}&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})-x_{1}x_{2}\\&={\frac {1}{4}}(x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})\\&=\left({\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}\right)^{2}>0\end{aligned}}}
이므로,
x
1
+
x
2
2
>
x
1
x
2
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}>{\sqrt {x_{1}x_{2}}}}
이다.
n
{\displaystyle n}
k
{\displaystyle k}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
k
−
1
{\displaystyle k-1}
k
{\displaystyle k}
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
2
k
2
k
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
2
k
−
1
2
k
−
1
+
x
2
k
−
1
+
1
+
x
2
k
−
1
+
2
+
⋯
+
x
2
k
2
k
−
1
2
≥
x
1
x
2
⋯
x
2
k
−
1
2
k
−
1
+
x
2
k
−
1
+
1
x
2
k
−
1
+
2
⋯
x
2
k
2
k
−
1
2
≥
x
1
x
2
⋯
x
2
k
−
1
2
k
−
1
x
2
k
−
1
+
1
x
2
k
−
1
+
2
⋯
x
2
k
2
k
−
1
=
x
1
x
2
⋯
x
2
k
2
k
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}}
여기서 첫번째 부등식에서 등호가 성립하려면, 그 양변에 걸친 두 쌍의 산술 및 기하 평균이 각각 같아야 하므로
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
2
k
−
1
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k-1}}}
x
2
k
+
1
=
x
2
k
+
2
=
⋯
=
x
2
k
{\displaystyle x_{2^{k}+1}=x_{2^{k}+2}=\cdots =x_{2^{k}}}
이어야 한다.
두번째 부등식에서 등호가 추가적으로 성립하려면, 그 양변에 걸친 한 쌍의 산술 및 기하 평균이 같아야 한다. 즉, 전반 및 후반 항들의 기하 평균이 서로 같아야 한다. 따라서, 둘 다 등호이려면
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
2
k
{\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{2^{k}}}
이어야 한다. 그러나 서로 다른 항이므로, 둘 다 등호일 수 없다. 따라서,
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
2
k
2
k
>
x
1
x
2
⋯
x
2
k
2
k
{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}
이다.
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
음이 아닌 실수
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}
x
{\displaystyle x}
m
{\displaystyle m}
x
n
+
1
=
x
n
+
2
=
⋯
=
x
m
=
x
{\displaystyle x_{n+1}=x_{n+2}=\cdots =x_{m}=x}
그렇다면, 이미 증명한
m
{\displaystyle m}
x
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
=
m
n
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
)
m
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
m
−
n
n
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
)
m
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
(
m
−
n
)
x
m
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
+
x
n
+
1
+
⋯
+
x
m
m
>
x
1
x
2
⋯
x
n
x
n
+
1
⋯
x
m
m
=
x
1
x
2
⋯
x
n
x
m
−
n
m
{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+(m-n)x}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}}}\end{aligned}}}
따라서,
x
m
>
x
1
x
2
⋯
x
n
x
m
−
n
{\displaystyle x^{m}>x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}}
즉,
x
>
x
1
x
2
⋯
x
n
n
{\displaystyle x>{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}
이다.
우선,
n
=
1
,
2
{\displaystyle n=1,2}
이제,
n
>
1
{\displaystyle n>1}
n
+
1
>
2
{\displaystyle n+1>2}
x
1
≠
x
2
{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}
x
1
+
⋯
+
x
n
+
x
n
+
1
n
+
1
−
(
x
1
⋯
x
n
x
n
+
1
)
1
n
+
1
>
0
{\displaystyle {\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}x_{n+1})^{\frac {1}{n+1}}>0}
이는 음이 아닌 실수
x
1
,
…
,
x
n
≥
0
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\geq 0}
f
(
t
)
=
x
1
+
⋯
+
x
n
+
t
n
+
1
−
(
x
1
⋯
x
n
t
)
1
n
+
1
(
t
≥
0
)
{\displaystyle f(t)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+t}{n+1}}-(x_{1}\cdots x_{n}t)^{\frac {1}{n+1}}\qquad (t\geq 0)}
를 정의하였을 때, 다음을 증명하여야 한다는 것과 같다.
f
(
x
n
+
1
)
>
0
{\displaystyle f(x_{n+1})>0}
극값 을 구하기 위해,
f
{\displaystyle f}
미분 을 취하자.
f
′
(
t
)
=
1
n
+
1
−
1
n
+
1
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
+
1
t
−
n
n
+
1
{\displaystyle f'(t)={\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n+1}}t^{-{\frac {n}{n+1}}}}
따라서,
f
{\displaystyle f}
임계점 을 갖는다.
f
′
(
t
0
)
=
0
⟺
t
0
=
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
{\displaystyle f'(t_{0})=0\iff t_{0}=(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n}}}
따라서,
f
{\displaystyle f}
f
(
0
)
=
x
1
+
⋯
+
x
n
n
+
1
>
0
{\displaystyle f(0)={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}>0}
f
(
t
0
)
=
x
1
+
⋯
+
x
n
+
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
n
+
1
−
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
+
1
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
(
n
+
1
)
=
x
1
+
⋯
+
x
n
n
+
1
+
1
n
+
1
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
−
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
=
x
1
+
⋯
+
x
n
n
+
1
−
n
n
+
1
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
=
n
n
+
1
(
x
1
+
⋯
+
x
n
n
−
(
x
1
⋯
x
n
)
1
n
)
>
0
{\displaystyle {\begin{aligned}f(t_{0})&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}+({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}}{n+1}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n+1}}(x_{1}\cdots x_{n})^{\frac {1}{n(n+1)}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}+{\frac {1}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n+1}}-{\frac {n}{n+1}}({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\\&={\frac {n}{n+1}}\left({\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}-({x_{1}\cdots x_{n}})^{\frac {1}{n}}\right)\\&>0\end{aligned}}}
lim
t
→
∞
f
(
t
)
=
∞
>
0
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }f(t)=\infty >0}
여기서,
f
(
t
0
)
=
0
{\displaystyle f(t_{0})=0}
x
1
≠
x
2
{\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
f
(
t
)
>
0
{\displaystyle f(t)>0}
이다. 특히,
t
=
x
n
+
1
{\displaystyle t=x_{n+1}}
f
(
x
n
+
1
)
>
0
{\displaystyle f(x_{n+1})>0}
이다. 이렇게
n
+
1
{\displaystyle n+1}
산술-기하 평균 부등식은 양의 실수들
x
1
,
x
2
…
,
x
n
>
0
{\displaystyle x_{1},x_{2}\dots ,x_{n}>0}
ln
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
>
1
n
(
ln
x
1
+
ln
x
2
+
⋯
+
ln
x
n
)
(
¬
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
)
{\displaystyle \ln {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}>{\frac {1}{n}}(\ln x_{1}+\ln x_{2}+\cdots +\ln x_{n})\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}
이는 로그 함수의 옌센 부등식 이므로, 로그 함수가 엄격 오목 함수 임을 보이기만 하면 된다. 이는 이계 도함수 판정법
(
ln
x
)
″
=
(
1
x
)
′
=
−
1
x
2
<
0
(
x
>
0
)
{\displaystyle (\ln x)''=\left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}<0\qquad (x>0)}
에 따라 성립한다.
가중 산술 평균 과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n 개의 음수가 아닌 실수들 x 1 , x 2 , …, x n 1 , α2 , …, αn
α
=
α
1
+
α
2
+
⋯
+
α
n
{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+
⋯
+
α
n
x
n
α
≥
x
1
α
1
x
2
α
2
⋯
x
n
α
n
α
{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}
마찬가지로 이 부등식은 모든 x k
α
k
=
0
(
k
=
0
,
1
,
⋯
,
n
)
{\displaystyle \alpha _{k}=0(k=0,1,\cdots ,n)}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
α
k
{\displaystyle \alpha _{k}}
f
(
x
)
=
l
n
x
{\displaystyle f(x)=lnx}
x
>
0
{\displaystyle x>0}
f
(
x
)
=
l
n
x
{\displaystyle f(x)=lnx}
ln
(
α
1
x
1
+
⋯
+
α
n
x
n
α
)
>
α
1
α
ln
x
1
+
⋯
+
α
n
α
ln
x
n
=
ln
x
1
α
1
x
2
α
2
⋯
x
n
α
n
α
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{\alpha }}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}.\end{aligned}}}
이다.
f
(
x
)
=
l
n
x
{\displaystyle f(x)=lnx}
α
1
x
1
+
α
2
x
2
+
⋯
+
α
n
x
n
α
≥
x
1
α
1
x
2
α
2
⋯
x
n
α
n
α
{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}
가 성립함이 증명된다.
산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균 과 조화 평균 에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
≥
0
{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\geq 0}
n
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
n
≤
x
1
x
2
⋯
x
n
n
≤
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
≤
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
x
n
2
n
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}}
특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건 은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,
n
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
n
<
x
1
x
2
⋯
x
n
n
<
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
<
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
x
n
2
n
(
¬
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
)
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}<{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}
n
1
x
1
+
1
x
2
+
⋯
+
1
x
n
=
x
1
x
2
⋯
x
n
n
=
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
n
n
=
x
1
2
+
x
2
2
+
⋯
x
n
2
n
(
x
1
=
x
2
=
⋯
=
x
n
)
{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}
이 부등식의 다른 일반화된 형태로는 뮤어헤드 부등식 과 일반화된 평균 부등식 이 있다.
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cee2a1a6788650ee814a8da59e2f78d4f63cd92)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c44eca6250abd3207089767e7b2cae2b22e2d9e7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}&{}={\frac {{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k-1}}}{2^{k-1}}}+{\frac {x_{2^{k-1}+1}+x_{2^{k-1}+2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k-1}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\frac {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}+{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}{2}}\\[7pt]&\geq {\sqrt {{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k-1}}}}{\sqrt[{2^{k-1}}]{x_{2^{k-1}+1}x_{2^{k-1}+2}\cdots x_{2^{k}}}}}}\\[7pt]&={\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd6928892a3005edcf7c6ef1cc3137782eecb08)
![{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{2^{k}}}{2^{k}}}>{\sqrt[{2^{k}}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{2^{k}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d1e238754f3dcedd3256c0d60cee9dcd27aa14a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\\[6pt]&={\frac {{\frac {m}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+{\frac {m-n}{n}}(x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n})}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+(m-n)x}{m}}\\[6pt]&={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}+x_{n+1}+\cdots +x_{m}}{m}}\\[6pt]&>{\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x_{n+1}\cdots x_{m}}}\\[6pt]&={\sqrt[{m}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}x^{m-n}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6d5b9bf0c730f2ec2b643c92ec534ab6df5ea64)
![{\displaystyle x>{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c01de3e9609933c063c1c3e4fd8d7c50d3851a43)
![{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2b91d2be246172de86935612405045be57ce99)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{\alpha }}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e0666ae51ff73413f9ce32dd6ede726a6de435)
![{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18257989c116e1d5a60e2458ac91cd5f038ec7f7)
![{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}<{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/947f58413ecce4af1105138274fcec66c6d2f931)
![{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efa67f5cbc92fcdd1f22a4783f788ac6848bc70f)