튜플

튜플(tuple)은 셀 수 있는 수량의 순서 있는 열거이다. $n$ 개의 요소를 가진 튜플을 $n$ -튜플( $n$ -tuple) 또는 $n$ 중쌍, $n$ 짝이라고 한다. 비어 있는 열은 유일한 0-튜플이다. 임의의 $n$ -튜플은 순서쌍의 개념을 이용하여 재귀적으로 정의된다. 튜플은 다른 수학 개념들(예를 들어 벡터)을 나타내는 데에 자주 사용된다.

튜플은 보통 원소들을 괄호 '( )'안에 쉼표 ','로 구분되게 나열하여 표시한다. 5-튜플의 예를 들면 $(2, 7, 4, 1, 7)$ 와 같다. 때로는 대괄호 '[ ]'나 화살괄호 '< >'와 같은 다른 부호를 사용하기도 한다. 중괄호 '{ }'는 집합을 표시할 때 쓰이기 때문에 튜플 표시에는 사용하지 않는다.

컴퓨터 과학에서 튜플은 어떤 요소의 집합, 혹은 테이블에서의 행을 가리킨다(레코드와 동일한 의미). 단, 일반적인 집합과는 달리 중복이 허용될 수 있다.

튜플의 개념은 언어학^[1]과 철학^[2]에서도 사용된다.

길이에 따른 튜플의 이름

튜플의 길이, $n$	이름	다른 이름
0	empty tuple	null tuple / empty sequence / unit / 0튜플
1	monuple	single / singleton / monad / 1튜플
2	couple	double / ordered pair / two-ple / twin / dual / duad / dyad / twosome / 2튜플
3	triple	treble / triplet / triad / ordered triple / threesome
4	quadruple	quad / tetrad / quartet / quadruplet
5	quintuple	pentuple / quint / pentad
6	sextuple	hextuple / hexad
7	septuple	heptuple / heptad
8	octuple	octa / octet / octad / octuplet
9	nonuple	nonad / ennead
10	decuple	decad / decade (antiquated)
11	undecuple	hendecuple / hendecad
12	duodecuple	dozen / duodecad
13	tredecuple	baker's dozen
14	quattuordecuple	double septuple
15	quindecuple	triple quintuple
16	sexdecuple	quadruple quadruple
17	septendecuple
18	octodecuple
19	novemdecuple
20	vigintuple
21	unvigintuple
22	duovigintuple
23	trevigintuple
24	quattuorvigintuple
25	quinvigintuple
26	sexvigintuple
27	septenvigintuple
28	octovigintuple
29	novemvigintuple
30	trigintuple
31	untrigintuple
32	duotrigintuple
40	quadragintuple
41	unquadragintuple
50	quinquagintuple
60	sexagintuple
70	septuagintuple
80	octogintuple
90	nongentuple
100	centuple
1,000	milluple	chiliad

성질

튜플의 기본 성질은 두 튜플이 같을 필요충분조건으로 나타내어진다. 일반적으로 두 $n$ -튜플

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})

(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})

이 같다는 건 같은 위치의 성분이 각각 같다는 것, 즉 다음과 동치이다.

a_{1}=b_{1},a_{2}=b_{2},\ldots ,a_{n}=b_{n}

때문에 튜플은 집합과 구분되는 여러 성질을 갖는다.

중복된 원소가 있을 수 있다. 튜플의 원소를 중복해서 쓰면 다른 튜플이 된다. 예: $(1, 2, 3) \neq (1, 2, 2, 3)$ , 하지만 집합 ${1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3}$
정해진 순서가 있다. 튜플의 원소의 순서를 바꾸면 다른 튜플이 될 수 있다. 예: $(1, 2, 3) \neq (3, 2, 1)$ , 하지만 집합 ${1, 2, 3} = {3, 2, 1}$
튜플의 원소의 개수는 유한하다. 하지만 집합, 중복집합은 원소 개수가 무한할 수도 있다.

정의법

튜플에게 위의 성질을 부여할 수 있는 정의법으로 다음이 있다.

함수

$n$ -튜플을 튜플의 성분들의 첨수들의 집합을 정의역, 튜플의 성분들이 이루는 집합을 공역으로 하는 함수로 정의할 수 있다. 즉 형식적으로

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\equiv (X,Y,F)

여기서

X=\{1,2,\ldots ,n\}

Y=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}

F=\{(1,a_{1}),(2,a_{2}),\ldots ,(n,a_{n})\}

덜 형식적인 표현은 다음과 같다.

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}):=(F(1),F(2),\ldots ,F(n))

내포된 순서쌍

집합론에서 쓰이는 한 가지 방법은 튜플을 내포된(nested) 순서쌍으로서 정의하는 것이다. 순서쌍은 미리 정의하여야 한다.

0-튜플, 즉 비어있는 튜플은 공집합 $\emptyset$ 로 정의한다.
양의 정수 $n$ 에 대해, $n$ -튜플은 $n$ -튜플의 첫 성분을 첫 성분으로 하고, 나머지 성분들로 이루어진 $(n -1)$ -튜플을 둘째 성분으로 하는 순서쌍이다.
$(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}))$

이 정의를 조금 큰 $n$ 에 대해 펼쳐보면 다음과 같다.

(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n})=(a_{1},(a_{2},(a_{3},(\ldots ,(a_{n-2},(a_{n-1},(a_{n},\emptyset )))\ldots ))))

예를 들면

(1,2,3,4)=(1,(2,3,4))=(1,(2,(3,4)))=(1,(2,(3,(4,\emptyset ))))

위 정의에서 방향만 바뀐 경우인 다음의 정의법도 있다.

0-튜플은 공집합이다.
$n > 0$ 에 대해, $n$ -튜플은 다음과 같은 순서쌍이다.
$(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n})=((a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}),a_{n})$

내포된 집합

두번째 정의법에서 순서쌍의 쿠라토프스키 정의를 쓰면 튜플을 집합만으로 정의내릴 수 있다.

0-튜플은 공집합 $\emptyset$ 이다.
$x$ 를 $n$ -튜플 $(a 1, a 2,... , a n)$ 이라 하자. 끝에 $b$ 를 추가한 튜플 $x \to b = (a 1, a 2,... , a n, b)$ 는 다음과 같은 집합이다.
$x\rightarrow b\equiv \{\{x\},\{x,b\}\}$

예를 들면

{\begin{array}{lclcl}()&&&=&\emptyset \\&&&&\\(1)&=&()\rightarrow 1&=&\{\{()\},\{(),1\}\}\\&&&=&\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\\&&&&\\(1,2)&=&(1)\rightarrow 2&=&\{\{(1)\},\{(1),2\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\\&&&&\\(1,2,3)&=&(1,2)\rightarrow 3&=&\{\{(1,2)\},\{(1,2),3\}\}\\&&&=&\{\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\}\},\\&&&&\{\{\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\}\},\\&&&&\{\{\{\emptyset \},\{\emptyset ,1\}\},2\}\},3\}\}\\\end{array}}

$m$ 원소 집합의 $n$ -튜플

이산수학, 특히 조합론과 (유한) 확률론에서, $n$ -튜플은 세기 문제 등 다양한 곳에서 등장하며, 덜 엄밀하게 길이 $n$ 의 순서있는 목록으로서 처리된다.^[3] $m$ 개의 원소를 가진 집합에서 원소를 취한 $n$ -튜플을 중복순열이라고 부른다. 이러한 튜플의 수는 $m n$ 이다(곱 규칙에 의해).^[4] 다른 관점에서, 집합 $S$ 의 크기가 $m$ 이라면, 곱집합 $S \times S \times ... \times S$ 의 크기는 $m n$ 이다.

형 이론

같이 보기

각주

↑ “N‐tuple - Oxford Reference”. 《oxfordreference.com》 (영어). 2015년 5월 1일에 확인함.
↑ “Ordered n-tuple - Oxford Reference”. 《oxfordreference.com》 (영어). 2015년 5월 1일에 확인함.
↑ D'Angelo & West 2000, 9쪽
↑ D'Angelo & West 2000, 101쪽

참고 문헌

D'Angelo, John P.; West, Douglas B. (2000), 《Mathematical Thinking / Problem-Solving and Proofs》 2판, Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-014412-6
Devlin, Keith (1993). 《The Joy of Sets》 2판. Springer Verlag. 7–8쪽. ISBN 0-387-94094-4.
Abraham Adolf Fraenkel; Yehoshua Bar-Hillel; Azriel Lévy (1973). 《Foundations of set theory》. Elsevier Studies in Logic 67 2차 개정판. 33쪽. ISBN 0-7204-2270-1.
Takeuti, Gaisi; Zaring, Wilson M. (1971). 《現代集合論入門》 [현대집합론입문]. Graduate Texts in Mathematics (일본어) 1. New York-Berlin: Springer-Verlag. 14쪽. ISBN 0-387-90683-5.
Tourlakis, George J. (2003). 《Lecture Notes in Logic and Set Theory》. 2: Set theory. Cambridge University Press. 182–193쪽. ISBN 978-0-521-75374-6.

Takeuti, Gaisi; Zaring, Wilson M. (1971), 《Introduction to axiomatic set theory》, Graduate Texts in Mathematics 1, New York-Berlin: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90683-5, MR 0349390

[1] “N‐tuple - Oxford Reference”. 《oxfordreference.com》 (영어). 2015년 5월 1일에 확인함.

[2] “Ordered n-tuple - Oxford Reference”. 《oxfordreference.com》 (영어). 2015년 5월 1일에 확인함.

[3] D'Angelo & West 2000, 9쪽

[4] D'Angelo & West 2000, 101쪽

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