소멸 정리

대수기하학과 복소기하학에서 소멸 정리(消滅定理, 영어: vanishing theorem)는 어떤 대수다양체 또는 복소다양체 위의 연접층의 층 코호몰로지가 0차원이 될 충분 조건을 제시하는 정리이다. 고다이라 소멸 정리([小平]消滅定理, 영어: Kodaira vanishing theorem)와 세르 소멸 정리(영어: Serre vanishing theorem) 등이 있다.

정의

고다이라 소멸 정리

$X$가 복소 $n$차원 콤팩트 켈러 다양체라고 하고, 그 표준 선다발이 $K_{X}$라고 하자. 또한, $L$이 임의의 풍부한 선다발이라고 하자. 고다이라 소멸 정리에 따르면, 다음이 성립한다.^{:248, Remark III.7.15}

$H^{p}(X;L\otimes K_{X})=0\qquad \forall p>0$

고다이라 소멸 정리는 양의 표수에서 성립하지 않는다.^:249

세르 소멸 정리

(대수적으로 닫히지 않거나, 표수가 0이 아닐 수 있는) 체 $K$ 위의 사영 스킴 $X\to \operatorname {Spec} K$의 세르 뒤틀림 층 ${\mathcal {O}}(1)$이 매우 풍부한 선다발이라고 하자. 또한, $X$ 위의 연접층 ${\mathcal {F}}$가 주어졌다고 하자. 세르 소멸 정리(Serre消滅定理, 영어: Serre vanishing theorem)에 따르면, 다음 조건을 성립시키는 자연수 $n_{0}\in \mathbb {N}$가 존재한다.^{:227, Theorem III.5.2}

$H^{p}(X;{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {O}}(n))=0\qquad \forall n\geq n_{0},\;p>0$

가와마타-피베크 소멸 정리

사영 복소다양체 $X$ 위의 해석적 선다발 $L$이 큰 선다발(영어: big line bundle)이며 네프 선다발(영어: nef line bundle)이라고 하자. 가와마타-피베크 소멸 정리([川又]-Viehweg消滅定理, 영어: Kawamata–Viehweg vanishing theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

$H^{p}(X;L\otimes K_{X})=0\qquad \forall p>0$

풍부한 선다발은 큰 선다발이자 네프 선다발이므로, 이는 (사영 대수다양체에 대한) 고다이라 소멸 정리의 일반화이다.

역사

고다이라 소멸 정리는 고다이라 구니히코가 증명하였다. 고다이라는 이를 사용하여 고다이라 매장 정리를 증명하였다. 고다이라의 원래 증명은 복소해석학적 기법을 사용하였다. 1987년에 피에르 들리뉴와 뤼크 일뤼지(프랑스어: Luc Illusie)는 순수하게 대수적인 방법으로 이를 증명하였다. 고다이라 소멸 정리는 양의 표수에서 성립하지 않지만, 들리뉴-일뤼지 증명은 흥미롭게도 양의 표수에서의 성질들을 핵심적으로 사용한다.

세르 소멸 정리는 장피에르 세르가 증명하였다.

가와마타-피베크 소멸 정리는 가와마타 유지로(일본어: 川又 雄二郎)와 에카르트 피베크(독일어: Eckart Viehweg)가 1982년에 독자적으로 증명하였다.

참고 문헌

• Esnault, Hélène; Eckart Viehweg (1992). 《Lectures on vanishing theorems》 (PDF). DMV Seminars (영어) 20. Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-8600-0. ISBN 978-3-7643-2822-1. MR 1193913. 

외부 링크

• Dolgachev, I.V. (2001). “Kodaira theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Kawamata-Viehweg vanishing theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Kempf vanishing theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Intuition behind the Kodaira vanishing theorem” (영어). Math Overflow.