풍부한 가역층

대수기하학에서 풍부한 가역층(豐富한可逆層, 영어: ample invertible sheaf)은 그 거듭제곱의 단면들을 사영 공간의 동차 좌표로 간주하여 대수다양체를 사영 공간에 매장시킬 수 있는 가역층이다. 복소수체 위에서, 이는 가역층의 천 특성류가 켈러 구조로 표현됨을 뜻한다.

정의

매우 풍부한 가역층

스킴 사상 $q\colon X\to Y$ 및 $X$ 위의 가역층 ${\mathcal {L}}$이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는

• $Y$ 위의 준연접층 ${\mathcal {E}}$
• $Y$-스킴의 몰입 $\iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} ({\mathcal {E}})$

가 존재한다면, ${\mathcal {L}}$이 $q$에 대하여 매우 풍부한 가역층(영어: very ample invertible sheaf relative to $q$, 프랑스어: faisceau inversible très ample pour $q$)이라고 한다.^{:79, Définition 4.4.2}

${\mathcal {L}}\cong \iota ^{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {E}})}(1)$

${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ({\mathcal {E}})}(1)$의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, $L$의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다. 매우 풍부한 인자(영어: very ample divisor)는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

로빈 하츠혼^:120과 류칭^{:167, Definition 5.1.26}이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 H-매우 풍부한 가역층이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다.

스킴 사상 $q\colon X\to Y$ 및 $X$ 위의 가역층 ${\mathcal {L}}$이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$에 대하여 $Y$-스킴의 몰입

$\iota \colon X\hookrightarrow \mathbb {P} _{Y}^{n}$

이 존재한다면, ${\mathcal {L}}$이 $q$에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이라고 한다.

즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 ${\mathcal {E}}$는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 $\mathbb {P} _{Y}^{n}$의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

풍부한 가역층

콤팩트 분리 스킴 $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ 위의 가역층 ${\mathcal {L}}$이 다음 조건을 만족시킨다면, 풍부한 가역층(영어: ample invertible sheaf, 프랑스어: faisceau inversible ample)이라고 한다.^{:84, Définition 4.5.3:153}

• $X$ 위의 임의의 유한형 준연접층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, 충분히 큰 양의 정수 $n$에 대하여, ${\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes n}$은 대역적 단면으로부터 생성된다.^{:85, Proposition 4.5.5(d):153:169, Definition 5.1.33}
• $X$ 위의 임의의 유한형 준연접층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, ${\mathcal {F}}$가 ${\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus k}$의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 $n,k\in \mathbb {Z} ^{+}$가 존재한다.^{:85, Proposition 4.5.5(d′)}
• $X$ 위의 유한형 준연접 아이디얼 층 ${\mathcal {I}}$에 대하여, ${\mathcal {I}}$가 ${\mathcal {L}}^{\otimes (-n)}\otimes {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus k}$의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수 $n,k\in \mathbb {Z} ^{+}$가 존재한다.^{:85, Proposition 4.5.5(d″)}

풍부한 인자(豊富한因子, 영어: ample divisor)는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.^{:153, Remark II.7.4.1}

대역적 단면으로 생성되는 층

국소환 달린 공간 $X$ 위의 아벨 군 층 ${\mathcal {F}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 대역적 단면으로 생성되는 층(영어: sheaf generated by global sections)이라고 한다.

• 임의의 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여, $\Gamma ({\mathcal {F}},U)=\operatorname {Span} \operatorname {res} _{X,U}(\Gamma ({\mathcal {F}},X))$이다.

여기서 $\operatorname {res} _{X,U}\colon \Gamma ({\mathcal {F}},X)\to \Gamma ({\mathcal {F}},U)$는 제약 사상이며, $\Gamma ({\mathcal {F}},-)$는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.

성질

뇌터 환 $R$ 위의 사영 스킴 $p\colon X\to \operatorname {Spec} R$가 주어졌을 때, $p$에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다.^{:154, Example II.7.4.3} 뇌터 환 $R$ 위의 유한형 스킴 $p\colon X\to \operatorname {Spec} R$ 및 $X$ 위의 가역층 ${\mathcal {L}}$이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:154, Theorem II.7.6}

• ${\mathcal {L}}$이 풍부한 가역층이다.
• 충분히 큰 양의 정수 $n$에 대하여, ${\mathcal {L}}^{\otimes n}$은 $p$에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다.

모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.

풍부함의 필요 충분 조건

주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 고유 스킴 $X\to \operatorname {Spec} K$ 위에 카르티에 인자 $D$가 주어졌다고 하자. 나카이-모이셰존 조건([中井]-Мойшезон條件, 영어: Nakai–Moishezon condition)에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $D$에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다.
• 모든 정역 부분 스킴 $Y\subset X$에 대하여, 다음이 성립한다.

  $\overbrace {D.D.\cdots .D} ^{\dim Y}.Y>0$

클라이먼 조건(Kleiman條件, 영어: Kleiman condition)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 X 위의 카르티에 인자 D에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $D$는 풍부한 가역층이다.
• $X$ 위의 곡선뿔(영어: cone of curves)을 $\operatorname {NE} (X)$라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소 $C\in {\overline {\operatorname {NE} (X)}}$에 대하여, $D.C>0$이다.

클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 $D.D>0$인 것과 대응한다.

카르탕-세르-그로텐디크 정리(영어: Cartan–Serre–Grothendieck theorem)에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 $L$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $L$은 풍부한 가역층이다.
• $X$ 위의 임의의 연접층 ${\mathcal {F}}$에 대하여, ${\mathcal {F}}\otimes L^{n}$이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰 $n$이 존재한다.

해석기하학에서의 풍부

복소수 $n$차원 복소다양체 $M$ 위의 (1,1)차 복소수 미분 형식

$\omega \in \Omega ^{1,1}(M)\cap \Omega ^{2}(M;\mathbb {R} )$

에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 양의 (1,1)-미분 형식(영어: positive (1,1)-form)이라고 한다.

• 임의의 $x\in M$에서, 정칙 접공간 $\mathrm {T} _{x}^{1,0}M$의 쌍대 공간 $\mathrm {T} _{x}^{1,0*}M$의 기저 $(\mathrm {d} z^{1},\dotsc ,\mathrm {d} z^{n})$을 잡았을 때, $\mathrm {i} \omega |_{x}=\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}dz^{i}\wedge d{\bar {z}}^{i}$의 꼴이며, $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}\geq 0$는 음이 아닌 실수이다.
• 임의의 $x\in M$ 및 $v\in \mathrm {T} _{x}^{1,0}(M)$에 대하여, $-\mathrm {i} \omega (v,{\bar {v}})\geq 0$이다.
• $\operatorname {Im} h=-\omega$인, 양의 반정부호인 에르미트 형식 $h$가 존재한다.

즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 복소다양체는 에르미트 다양체와 동치이다.

복소다양체 $M$ 위의 해석적 선다발 $L\twoheadrightarrow M$에 대하여, $\nabla ^{0,1}={\bar {\partial }}$인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 천 접속(영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률 $F$는 항상

$F\in \Omega ^{1,1}(M)\cap \mathrm {i} \Omega ^{2}(M;\mathbb {R} )$

이며, 천 특성류를 표현한다. 만약 $\mathrm {i} F$가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, 천 특성류가 에르미트 다양체 구조를 정의한다면), $L$을 양의 선다발(영어: positive line bundle)이라고 한다. $F$는 항상 닫힌 미분 형식이므로, 이는 켈러 다양체의 구조를 정의한다.

복소수체 위의 완비 대수다양체 $X\to \operatorname {Spec} \mathbb {C}$ 위의 가역층 ${\mathcal {L}}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 $X^{\operatorname {an} }$는 콤팩트 복소다양체를 이루며, ${\mathcal {L}}^{\operatorname {an} }$은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• ${\mathcal {L}}$은 풍부한 가역층이다.
• ${\mathcal {L}}^{\operatorname {an} }$은 양의 선다발이다.

예

아핀 스킴 위의 가역층

뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.^{:154, Example II.7.4.2}

사영 공간 위의 가역층

체 $K$ 위의 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}$ 및 정수 $k\in \mathbb {Z}$에 대하여, 가역층

${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(k)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}(-1)^{\otimes -k}$

을 정의할 수 있다. 여기서 ${\mathcal {O}}(-1)$은 보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:155, Example II.7.6.1}

• ${\mathcal {O}}(k)$는 풍부한 가역층이다.
• ${\mathcal {O}}(k)$는 스킴 사상 $\mathbb {P} _{K}^{n}\twoheadrightarrow \operatorname {Spec} K$에 대하여 매우 풍부한 가역층이다.
• $k>0$이다.

대수 곡선

대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 경우, 어떤 인자 $D$에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 $\deg D>0$인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 종수 $g$의 대수 곡선의 경우, 인자 $D$에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은

$\deg D\geq 2g+1$

인 것이다.

예를 들어, 사영 직선($g=0$)의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱 ${\mathcal {O}}(d)$이다 (버코프-그로텐디크 정리 영어: Birkhoff–Grothendieck theorem). 이 경우 $d\geq 1$인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, $d\leq 0$인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, 사영 직선 $\mathbb {P} ^{1}$ 위의 가역층 ${\mathcal {O}}(2)$을 생각하자. $\mathbb {P} ^{1}$의 동차 좌표계 $[s:t]$에 대하여, 그 단면의 공간은

$\Gamma (\mathbb {P} ^{1};{\mathcal {O}}(2))=Ks^{2}\oplus Kst\oplus Kt^{2}$

이다. 즉, 사상

$[s:t]\to [s^{2}:st:t^{2}]$

는 매장 $\mathbb {P} ^{1}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{2}$을 정의하며, 그 상은 대수 곡선

$\operatorname {Proj} {\frac {K[x,y,z]}{xz-y^{2}}}$

이다.

사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.

대수 곡면

나카이-모이셰존 조건에 따라서, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자 $D$는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.

• $D$의 자기 교차수 $D.D>0$
• $X$ 위의 임의의 (기약) 대수 곡선 $C\subset X$에 대하여 $D.C>0$

자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.

역사

나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈(일본어: 中井 喜和 (なかい よしかず))와 보리스 게르셰비치 모이셰존(러시아어: Бори́с Ге́ршевич Мойшезо́н) 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다.

클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼(영어: Steven Lawrence Kleiman)이 1966년에 도입하였다.

외부 링크

• Iskovskikh, V.A. (2001). “Invertible sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Iskovskikh, V.A. (2001). “Ample sheaf”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Ivanova, O.A. (2001). “Ample vector bundle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ample sheaf”. 《nLab》 (영어). 
• “Positive line bundle”. 《nLab》 (영어). 
• Mathew, Akhil (2013년 1월 30일). “The Nakai-Moishezon criterion”. 《Climbing Mount Bourbaki》 (영어). 
• “How should I think about very ample sheaves?” (영어). StackExchange. 
• “Kleiman's and Nakai-Moishezon's ampleness criteria” (영어). Math Overflow. 
• “Do versions of the Nakai-Moishezon and Kleiman criteria hold for Moishezon manifolds, or other 'nice' spaces?” (영어). Math Overflow. 
• “Are “ample” and “positive” line bundle the same concept?” (영어). Math Overflow. 

같이 보기

• 파노 다양체
• 렙셰츠 초평면 정리
• 소멸 정리