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풍부한 가역층

(풍부한 선다발에서 넘어옴)

정의편집

매우 풍부한 가역층편집

스킴 사상    위의 가역층  이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는

  •   위의 준연접층  
  •  -스킴의 몰입  

가 존재한다면,   에 대하여 매우 풍부한 가역층(영어: very ample invertible sheaf relative to  , 프랑스어: faisceau inversible très ample pour  )이라고 한다.[2]:79, Définition 4.4.2

 

 의 단면들은 대략 사영 공간동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로,  의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다. 매우 풍부한 인자(영어: very ample divisor)는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

로빈 하츠혼[3]:120과 류칭[4]:167, Definition 5.1.26이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 H-매우 풍부한 가역층이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다.

스킴 사상    위의 가역층  이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수  에 대하여  -스킴의 몰입

 

이 존재한다면,   에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이라고 한다.

즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층  는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간  의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

풍부한 가역층편집

콤팩트 분리 스킴   위의 가역층  이 다음 조건을 만족시킨다면, 풍부한 가역층(영어: ample invertible sheaf, 프랑스어: faisceau inversible ample)이라고 한다.[2]:84, Définition 4.5.3[3]:153

  •   위의 임의의 유한형 준연접층  에 대하여, 충분히 큰 양의 정수  에 대하여,  은 대역적 단면으로부터 생성된다.[2]:85, Proposition 4.5.5(d)[3]:153[4]:169, Definition 5.1.33
  •   위의 임의의 유한형 준연접층  에 대하여,   의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수  가 존재한다.[2]:85, Proposition 4.5.5(d′)
  •   위의 유한형 준연접 아이디얼 층  에 대하여,   의 어떤 몫과 동형이 되는 양의 정수  가 존재한다.[2]:85, Proposition 4.5.5(d″)

풍부한 인자(豊富한因子, 영어: ample divisor)는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.

풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.[3]:153, Remark II.7.4.1

대역적 단면으로 생성되는 층편집

국소환 달린 공간   위의 아벨 군  가 다음 조건을 만족시킨다면, 대역적 단면으로 생성되는 층(영어: sheaf generated by global sections)이라고 한다.

  • 임의의 열린집합  에 대하여,  이다.

여기서  는 제약 사상이며,  는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.

성질편집

뇌터 환   위의 사영 스킴  가 주어졌을 때,  에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다.[3]:154, Example II.7.4.3 뇌터 환   위의 유한형 스킴    위의 가역층  이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[3]:154, Theorem II.7.6

  •  이 풍부한 가역층이다.
  • 충분히 큰 양의 정수  에 대하여,   에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이다.

모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.

풍부함의 필요 충분 조건편집

주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다.

대수적으로 닫힌 체   위의 고유 스킴   위에 카르티에 인자  가 주어졌다고 하자. 나카이-모이셰존 조건([中井]-Мойшезон條件, 영어: Nakai–Moishezon condition)에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  에 대응하는 가역층은 풍부한 가역층이다.
  • 모든 정역 부분 스킴  에 대하여, 다음이 성립한다.
     

클라이먼 조건(Kleiman條件, 영어: Kleiman condition)에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 X 위의 카르티에 인자 D에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  는 풍부한 가역층이다.
  •   위의 곡선뿔(영어: cone of curves)을  라고 하자. 그 폐포 위의 임의의 원소  에 대하여,  이다.

클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서  인 것과 대응한다.

카르탕-세르-그로텐디크 정리(영어: Cartan–Serre–Grothendieck theorem)에 따르면, 대수다양체 위의 가역층  에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

  •  은 풍부한 가역층이다.
  •   위의 임의의 연접층  에 대하여,  이 대역적 단면으로 생성되는 층이 되게 하는 충분히 큰  이 존재한다.

해석기하학에서의 풍부편집

복소수  차원 복소다양체   위의 (1,1)차 복소수 미분 형식

 

에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 양의 (1,1)-미분 형식(영어: positive (1,1)-form)이라고 한다.

  • 임의의  에서, 정칙 접공간  쌍대 공간  기저  을 잡았을 때,  의 꼴이며,  는 음이 아닌 실수이다.
  • 임의의   에 대하여,  이다.
  •  인, 양의 반정부호인 에르미트 형식  가 존재한다.

즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 복소다양체에르미트 다양체동치이다.

복소다양체   위의 해석적 선다발  에 대하여,  인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 천 접속(영어: Chern connection)이라고 한다. 천 접속의 곡률  는 항상

 

이며, 천 특성류를 표현한다. 만약  가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, 천 특성류에르미트 다양체 구조를 정의한다면),  양의 선다발(영어: positive line bundle)이라고 한다.  는 항상 닫힌 미분 형식이므로, 이는 켈러 다양체의 구조를 정의한다.

복소수체 위의 완비 대수다양체   위의 가역층  이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화  콤팩트 복소다양체를 이루며,  은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  은 풍부한 가역층이다.
  •  은 양의 선다발이다.

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아핀 스킴 위의 가역층편집

뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.[3]:154, Example II.7.4.2

사영 공간 위의 가역층편집

  위의 사영 공간   및 정수  에 대하여, 가역층

 

을 정의할 수 있다. 여기서  보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.[3]:155, Example II.7.6.1

  •  는 풍부한 가역층이다.
  •  스킴 사상  에 대하여 매우 풍부한 가역층이다.
  •  이다.

대수 곡선편집

대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 경우, 어떤 인자  에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건 인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다.

마찬가지로, 종수  의 대수 곡선의 경우, 인자  에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건

 

인 것이다.

예를 들어, 사영 직선( )의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱  이다 (버코프-그로텐디크 정리 영어: Birkhoff–Grothendieck theorem). 이 경우  인 경우는 매우 풍부한 가역층이며,  인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, 사영 직선   위의 가역층  을 생각하자.  동차 좌표계  에 대하여, 그 단면의 공간은

 

이다. 즉, 사상

 

는 매장  을 정의하며, 그 대수 곡선

 

이다.

사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.

대수 곡면편집

나카이-모이셰존 조건에 따라서, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자  는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.

  •  자기 교차수  
  •   위의 임의의 (기약) 대수 곡선  에 대하여  

자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.[5]

역사편집

나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈(일본어: 中井 善一 (なかい よしかず))[6] 와 보리스 게르셰비치 모이셰존(러시아어: Бори́с Ге́ршевич Мойшезо́н)[7] 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다.

클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼(영어: Steven Lawrence Kleiman)이 1966년에 도입하였다.[8]

참고 문헌편집

  1. 양재현 (1989년 1월 1일). 《벡터 속 이론》. 민음사. ISBN 89-374-3560-8. 
  2. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1961). “Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (프랑스어) 8. doi:10.1007/bf02699291. MR 0217084. 
  3. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  4. Liu, Qing (2006년 6월 29일). 《Algebraic geometry and arithmetic curves》. Oxford Graduate Texts in Mathematics (영어) 6. Reinie Erne 역 2판. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-920249-2. MR 1917232. Zbl 1103.14001. 2016년 3월 5일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 8월 10일에 확인함. 
  5. Nagata, Masayoshi (1959). “On the 14th problem of Hilbert”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 81 (3): 766–772. doi:10.2307/2372927. JSTOR 2372927. MR 0154867. 
  6. Nakai, Yoshikazu (1963). “A criterion of an ample sheaf on a projective scheme”. 《American Journal of Mathematics》 (영어) 85 (1): 14–26. doi:10.2307/2373180. ISSN 0002-9327. JSTOR 2373180. MR 0151461. 
  7. Мойшезон, Б. Г (1964). “Критерий проективности полных алгебраических абстрактных многообразий”. 《Известия академии наук СССР. Серия математическая》 (러시아어) 28 (1): 179–224. ISSN 0373-2436. MR 0160782. 
  8. Kleiman, Steven L. (1966). “Toward a numerical theory of ampleness”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 84 (3): 293–344. doi:10.2307/1970447. ISSN 0003-486X. JSTOR 1970447. MR 0206009. 

외부 링크편집

같이 보기편집