슈톨츠-체사로 정리

해석학에서, 슈톨츠-체사로 정리(영어: Stolz–Cesàro theorem)는 두 수열의 비가 수렴할 충분조건을 제시하는 정리이다. 체사로 평균의 일반화로 볼 수 있다. 또한 이는 로피탈의 정리의 이산적인 형태로 볼 수 있는데, 도함수의 개념 대신 계차수열의 개념을 사용한다.

정의편집

실수 ,  이 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 분모 수열이 다음 세 조건 가운데 하나를 만족시킨다.
    • (0에 수렴하는 순단조수열)  이거나  이며, 또한  
    • (양의 무한대에 수렴하는 순증가수열)  이며,   (이는 무계 순증가수열과 동치이다.)[1]
    • (음의 무한대에 수렴하는 순감소수열)  이며,   (이는 무계 순감소수열과 동치이다.)
  • (계차수열의 비의 넓은 의미 수렴)  

그렇다면, 슈톨츠-체사로 정리에 따르면 다음이 성립한다.

  •  

증명편집

가장 기본적인,  이 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고, 비의 극한이 실수에 수렴하는 경우를 증명하자. 우선 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면,  이 순증가수열임을 같이 고려하면, 임의의  에 대하여,  이 존재하여, 임의의  에 대하여 다음이 성립한다.

 

이를   를 대입하여 합을 구하면

 

이다. 또한  의 모든 항이 0보다 크다 가정할 수 있으므로,

 

이다. 여기서  이므로,  이 존재하여, 임의의  에 대하여,

 

이다. 즉,

 

관련 명제편집

부분적 역편집

슈톨츠-체사로 정리의 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 두 수열

 
 

을 정의하였을 때,  은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이고,  이지만,  의 극한은 존재하지 않는다. 그러나 그 부분적 역인 다음 명제는 참이다. 두 실수열  ,  이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  •  
  •  은 유계 수열이다.
  •  

그렇다면, 다음이 성립한다.

  •  

한 가지 변형편집

슈톨츠-체사로 정리의 한 가지 변형은 다음과 같다. 두 실수열  ,  이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

  •  
  •  은 양의 무한대에 수렴하는 순증가수열이다.
  •  

그렇다면, 다음이 성립한다.

  •  

일반화편집

슈톨츠-체사로 정리의 일반화된 형식은 다음과 같다.[2] 실수열  과, 양의 무한대에 수렴하는 순증가 실수열  에 대하여 다음이 성립한다.

 

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슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 다음과 같은 극한을 구해보자.

 

분모는 정리의 전제를 만족시킨다. 즉,  는 양의 무한대에 수렴하는 증가수열이다. 이에 따라, 이 극한은 계차수열의 비의 극한과 같다.

 

평균의 극한편집

슈톨츠-체사로 정리를 사용하여 일부 평균의 극한에 대한 명제를 증명할 수 있다. 즉,  인 실수열  에 대하여 다음이 성립한다.

(산술 평균의 극한)  
(기하 평균의 극한)  
(조화 평균의 극한)  
(멱평균의 극한)  
(일반화된 f-평균의 극한)   ( 가역 연속 함수)

마찬가지로, 다음이 성립한다. (여기서  이며  이다.)

(가중 산술 평균의 극한)  
(가중 기하 평균의 극한)  
(가중 조화 평균의 극한)  
(가중 멱평균의 극한)  
(가중 일반화된 f-평균의 극한)   ( 가역 연속 함수)

기타편집

슈톨츠-체사로 정리는 로피탈의 정리의 증명에 사용될 수 있다.

역사편집

오스트리아의 수학자 오토 슈톨츠(독일어: Otto Stolz)[3]이탈리아의 수학자 에르네스토 체사로(이탈리아어: Ernesto Cesàro)[4]가 제시하였다.

같이 보기편집

참고 문헌편집

  1. 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8. 
  2. “L’Hopital’s Theorem”. 《IMOmath》 (영어). 
  3. Stolz, Otto (1885), 《Vorlesungen über allgemeine Arithmetik: nach den Neueren Ansichten》 (독일어), Leipzig: Teubners, 173–175쪽, JFM 17.0116.01 
  4. Cesàro, Ernesto (1888). “Sur la convergence des séries”. 《Nouvelles annales de mathématiques (series 3)》 (프랑스어) 7: 49–59. JFM 20.0242.01. 

외부 링크편집