코시 수렴 판정법

해석학에서, 코시 수렴 판정법(영어: Cauchy’s convergence test)은 급수수렴 판정법의 하나이다. 이 판정법에 의하면, 급수수렴한다는 것은 부분합 수열이 코시 수열인 것과 동치이다.

정의편집

 실수체 또는 복소수체라고 하자.

실수항 또는 복소수항 급수편집

  위의 수열  이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  수렴한다.
  • 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수  가 존재한다.
    • 임의의  에 대하여,  

여기서  절댓값이다.

증명:

첫 번째 조건은 부분합  수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다.  완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

바나흐 공간 위의 급수편집

 -바나흐 공간   위의 점렬  이 주어졌다고 하자. 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:8, §1.2, Theorem 1.2.1

  •  수렴한다.
  • 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수  가 존재한다.
    • 임의의  에 대하여,  

증명:

첫 번째 조건은 부분합  수렴을 일컫는다. 두 번째 조건은 부분합이 코시 점렬임을 뜻한다.  완비 거리 공간을 이루므로, 부분합이 수렴하는 것은 부분합이 코시 점렬인 것과 동치이다.

함수항 급수편집

집합   값 함수열   ( )이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  균등 수렴한다.
  • 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수  가 존재한다.
    • 임의의   에 대하여,  

증명:

 이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수  가 존재한다.

임의의   에 대하여,  

따라서, 임의의   에 대하여,

 

이다.

반대로, 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수  가 존재한다고 가정하자.

임의의   에 대하여,  

그렇다면, 각  에서의 부분합    위의 코시 수열이며, 따라서  은 수렴한다. 이제, 위 조건에서  을 취하면 다음을 얻는다.

임의의   에 대하여,  

이에 따라,  균등 수렴한다.

보다 일반적으로, 집합   -바나흐 공간   값 함수열   ( )이 주어졌다고 하자. 균등 수렴에 대한 코시 수렴 판정법에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  균등 수렴한다.
  • 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수  가 존재한다.
    • 임의의   에 대하여,  

증명:

 이 균등 수렴한다고 가정하자. 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수  가 존재한다.

임의의   에 대하여,  

따라서, 임의의   에 대하여,

 

이다.

반대로, 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 자연수  가 존재한다고 가정하자.

임의의   에 대하여,  

그렇다면, 각  에서의 부분합    위의 코시 수열이며, 따라서  은 수렴한다. 이제, 위 조건에서  을 취하면 다음을 얻는다.

임의의   에 대하여,  

이에 따라,  균등 수렴한다.

임의의 집합   -바나흐 공간  에 대하여, 유계 함수  의 집합  은 점별 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 대하여 벡터 공간을 이루며, 또한 다음과 같은 상한 노름에 대하여  -바나흐 공간을 이룬다.

 

만약 각  유계 함수라면, 첫 번째 조건은  상한 노름에 대하여 수렴하는 것과 동치이며, 두 번째 조건은 부분합  상한 노름에 대하여   위의 코시 점렬을 이루는 것과 동치이다.

따름정리편집

일반항 판정법은 코시 수렴 판정법에서  을 취한 특수한 경우로 생각할 수 있다.

모든 절대 수렴 급수는 수렴한다는 사실은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

바이어슈트라스 M-판정법은 코시 수렴 판정법을 사용하여 증명할 수 있다.

관련 정리편집

함수의 극한에 대한 코시 수렴 판정법편집

임의의 열린구간    및 함수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 함수의 극한  이 존재한다.
  • 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 양의 실수  가 존재한다.
    • 임의의  에 대하여,  

이상 적분에 대한 코시 수렴 판정법편집

이상 적분

 
 

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  수렴한다.
  • 임의의 양의 실수  에 대하여, 다음을 만족시키는 실수  가 존재한다.
    • 임의의  에 대하여,  

각주편집

  1. Kadets, Mikhail I.; Kadets, Vladimir M. (1997). 《Series in Banach Spaces. Conditional and Unconditional Convergence》. Operator Theory Advances and Applications (영어) 94. Basel: Birkhäuser. doi:10.1007/978-3-0348-9196-7. ISBN 978-3-0348-9942-0. Zbl 0876.46009. 

외부 링크편집