유계 함수

실해석학에서 유계 함수(有界函數, 영어: bounded function)는 그 치역이 유계 집합인 함수이다.

붉은색 함수는 유계 함수지만, 푸른색 함수는 유계 함수가 아니다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• 체 $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
• $K$-위상 벡터 공간 $V$
• 연속 함수 $f\colon X\to V$

유계 함수

$f$의 치역이 유계 집합이라면, $f$를 유계 함수라고 한다. 즉, $0\in V$의 임의의 근방 $N\ni 0$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 수 $\delta \in K\setminus \{0\}$가 존재하여야 한다.

$\delta f(x)\in N\qquad \forall x\in X$

유계 함수가 아닌 함수를 무계 함수(無界函數, 영어: unbounded function)라고 한다. 유계 연속 함수 $X\to V$의 벡터 공간을 ${\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V)$로 표기하며, 이 위에는 균등 수렴 위상을 부여한다.

콤팩트 지지 함수

$X$가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. $f$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 콤팩트 지지 연속 함수(영어: compactly supported continuous map)라고 한다.

• $f|_{X\setminus K}=0$인 콤팩트 집합 $K$가 존재한다. (여기서 $0\colon X\to V$는 영벡터 상수 함수이다.)
• 지지 집합 $\operatorname {supp} f=\operatorname {cl} \{x\in X\colon f(x)\neq 0\}$이 콤팩트 집합이다. (여기서 $\operatorname {cl}$은 폐포를 뜻한다.)

콤팩트 지지 연속 함수 $X\to V$들의 집합을 ${\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X,V)$로 표기하자.

무한에서 0이 되는 함수

$X$가 추가로 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 만약 $f$가 다음 조건을 만족시킨다면, 무한에서 0이 되는 연속 함수(영어: continuous map vanishing at infinity)라고 한다.

• $0\in V$의 임의의 근방 $N\ni 0$에 대하여, $\operatorname {im} (f|_{X\setminus K})\subseteq N$이 되는 콤팩트 집합 $K$가 존재한다. (여기서 $\operatorname {im}$은 치역을 의미한다.)

무한에서 0이 되는 연속 함수 $X\to V$들의 집합을 ${\mathcal {C}}_{0}(X,V)$로 표기하자. 만약 $V$가 노름 공간이라면, ${\mathcal {C}}_{0}(X,V)$에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

$\|f\|=\sup _{x\in X}f(x)$

만약 $V$가 바나흐 공간이라면, ${\mathcal {C}}_{0}(X,V)$ 역시 바나흐 공간이다.

성질

$X$가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때, 다음과 같은 포함 관계가 존재한다.

${\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;V)\subseteq {\mathcal {C}}_{0}(X;V)\subseteq {\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V)\subseteq {\mathcal {C}}(X;V)$

여기서 ${\mathcal {C}}(X;V)$는 모든 연속 함수 $X\to V$들의 공간이다. 만약 $X$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 하이네-보렐 정리에 의하여 이 네 함수 공간들은 모두 다 일치한다.

또한, 모든 유계 변동 함수는 유계 함수이다.

노름

$V$가 노름 공간이라고 하면, ${\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V)$ 위에 균등 노름

$\|f\|=\max _{x\in X}\|f(x)\|\qquad (f\in {\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V))$

을 정의할 수 있다. 만약 $V$가 추가로 바나흐 공간이라면, ${\mathcal {C}}_{\text{bd}}(X;V)$ 역시 바나흐 공간이다. 또한, ${\mathcal {C}}_{0}(X;V)$ 역시 균등 노름에 의하여 바나흐 공간을 이룬다. ${\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;V)$는 노름 공간이지만 일반적으로 바나흐 공간이 아니며, 그 완비화는 ${\mathcal {C}}_{0}(X;V)$이다.

리스 표현 정리

 이 부분의 본문은 리스 표현 정리입니다.

리스 표현 정리에 따르면, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $X$에 대하여, ${\mathcal {C}}_{0}(X;\mathbb {R} )$ 및 ${\mathcal {C}}_{\text{comp}}(X;\mathbb {R} )$의 위상 쌍대 공간인 바나흐 공간은 $X$ 위의 측정 측도들의 바나흐 공간과 동형이다.

예

다음 함수들은 정의역과 공역이 모두 (표준적 거리 함수를 갖춘) 실수 집합 $\mathbb {R}$이라고 가정한다.

함수 $x\mapsto x$는 치역이 $\mathbb {R}$ 전체이므로 유계 함수가 아니다. 반면, 함수 $x\mapsto 1/(x^{2}+1)$는 치역이 구간 $(0,1]$이므로 유계 함수이다.

마찬가지로, 삼각함수 $\sin x$ 와 $\cos x$ 또한 치역이 닫힌구간 $[0,1]$ 이므로 유계함수이다. 그러나 $\tan x$는 치역이 실수 전체이므로 유계함수가 아니다.

유리수 집합의 지시 함수

$\chi _{\mathbb {Q} }\colon x\mapsto {\begin{cases}1&x\in \mathbb {Q} \\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

(디리클레 함수라고 한다)는 연속 함수가 아니지만 치역이 $\{0,1\}$이므로 유계 함수이다.

$f_{1}$의 그래프

정규 분포 확률 밀도 함수

$f_{1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f_{1}\colon x\mapsto \exp(-x^{2}/2)$

는 무한에서 0이 되는 매끄러운 함수이지만, 콤팩트 지지 함수가 아니다.

$f_{2}$의 그래프

함수

$f_{2}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f_{2}\colon x\mapsto {\begin{cases}\exp(-1/(1-x^{2}))&|x|<1\\0&|x|\geq 1\end{cases}}$

는 콤팩트 지지 매끄러운 함수이다.

참고 문헌

• Jerison, Meyer (1950년 9월). “The space of bounded maps into a Banach space”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 52 (2): 309–327. doi:10.2307/1969472. JSTOR 1969472. 

외부 링크

• “Function of compact support”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Compact support”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Vanishing at infinity”. 《nLab》 (영어). 
• “Compact support”. 《nLab》 (영어).