스콧 위상

(스콧 연속 함수에서 넘어옴)

일반위상수학순서론에서 스콧 위상(영어: Scott topology)은 임의의 원순서 집합 위에 정의할 수 있는 위상의 하나이다.

정의

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원순서 집합  부분 집합  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 열린집합(영어: Scott-open set)이라고 한다.

  • 다음 두 조건을 만족시킨다.
    •  상집합이다.
    • 임의의 상향 집합  에 대하여, 만약  라면,  이다. ( 상집합이므로,  인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
  • 스콧 닫힌집합의 여집합이다.

마찬가지로, 원순서 집합  부분 집합  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 닫힌집합(영어: Scott-closed set)이라고 한다.

  • 다음 두 조건을 만족시킨다.
    •  하집합이다.
    • 임의의 상향 집합  에 대하여, 만약  이며,  가 존재한다면,  이다. ( 하집합이므로,  인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
  • 스콧 열린집합의 여집합이다.

원순서 집합  의 스콧 열린집합들의 집합은   위의 위상을 이룬다. 이를  스콧 위상이라고 한다.

성질

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스콧 위상에 대한 연속 함수

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원순서 집합  ,   사이의 함수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는  스콧 연속 함수(영어: Scott-continuous function)라고 한다.

  • 정의역공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.
  • (상향 집합상한의 보존) 임의의 상향 집합  에 대하여, 만약  가 존재한다면,  

스콧 연속 함수는 항상 증가함수이다.

함자성

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스콧 위상은 원순서 집합과 스콧 연속 함수의 범주  위상 공간범주   사이의 함자

 

를 정의한다.

곱과의 호환

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위 함자는 연속 dcpo범주  콜모고로프 공간범주   사이로 제한시켰을 때, 유한 을 보존한다. 보다 일반적으로, 임의의 dcpo  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:197, Theorem II-4.13

  • 임의의 dcpo  에 대하여, 다음 두 위상이 일치한다.
    •   직접곱  의 스콧 위상
    •   의 스콧 위상의 곱위상
  •  의 스콧 열린집합들의 완비 헤이팅 대수연속 완비 헤이팅 대수이다.

같이 보기

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각주

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  1. Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). 《Continuous lattices and domains》. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (영어) 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001. 

외부 링크

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