쌍둥이 소수 상수

쌍둥이 소수 상수(영어: Twin prime constant) $C_{2}$ 또는 $\Pi _{2}$는 하디-리틀우드(Hardy-Littlewood)추측으로부터의 쌍둥이 소수 추측의 일반화이다.

고드프리 해럴드 하디와 존 이든저 리틀우드의 이름을 따서 명명되었다.

이것은 소수 정리(prime number theorem)와 유사하게 쌍둥이 소수(twin primes)를 포함하는 소수 자리의 분포에 대한 수학 상수이다.

$\Pi _{2}=C_{2}=\prod _{\textstyle {p\;{\rm {prime}} \atop p\geq 3}}\left(1-{{1} \over {(p-1)^{2}}}\right)=0.660161815\ldots \;\;$(OEIS의 수열 A005597)

지수 함수 표현

자연로그 및 번분수 관련

$C_{2}=\prod _{p>2}^{p=prime}\left(1-{{1} \over {(p-1)^{2}}}\right)$

$\;\;\;=\prod _{p>2}^{p=prime}\left({{p^{2}-2p} \over {(p-1)^{2}}}\right)$

$\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({{p^{2}-2p} \over {(p-1)^{2}}}\right)\right)$

$\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({{p(p-2)} \over {(p-1)^{2}}}\right)\right)$

$\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({{p^{2}(p-2)} \over {p(p-1)^{2}}}\right)\right)$

$\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({{{p-2} \over {p}} \over {{(p-1)^{2}} \over {(p)^{2}}}}\right)\right)$

$\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({\left({{p-2} \over {p}}\right) \over {\left({{p-1} \over {p}}\right)^{2}}}\right)\right)$

$\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}ln\left({1-{{2} \over {p}} \over {\left(1-{{1} \over {p}}\right)^{2}}}\right)\right)$

$\;\;\;=exp\left(\sum _{p>2}^{prime=p}\left(ln\left(1-{{2} \over {p}}\right)-2ln\left(1-{{1} \over {p}}\right)\right)\right)$

또다른 쌍둥이 소수 추측들

알폰스 드 폴리냑(Alphonse de Polignac)의 폴리냑 추측(Polignac's conjecture)도 쌍둥이 소수에대한 정리에 대해 별도로 기여하였다.

등차수열과오일러 피 함수에서의 엘리엇-할버스탐 추측(Peter D. T. A. Elliott and Heini Halberstam conjecture)도 쌍둥이 소수에대한 정리에 기여하였다.

같이 보기

• 브룬 상수
• 알틴 상수
• 순환 수
• 펠러-토르니어 상수
• 바반 상수(Barban's Constant)
• 타니구치 상수(Taniguchi's Constant)
• 히스 브라운 모로즈 상수(Heath-Brown–Moroz constant)
• 마이셀-메르텐스 상수
• 오일러의 곱셈 공식

각주

• (OEIS)https://oeis.org/A156874
• (OEIS)https://oeis.org/A065421
• (OEIS)https://oeis.org/A167864
• (OEIS)https://oeis.org/A082695
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/ArtinsConstant.html
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/Feller-TornierConstant.html
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/CyclicNumber.html