편각 원리
복소해석학에서 편각 원리(偏角原理, 영어: argument principle)는 유리형 함수의 로그 도함수의 닫힌곡선을 따른 경로 적분과 경로 내부에 포함된 영점과 극점 사이의 관계를 제시하는 정리이다.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/25/Argument_principle1.svg/220px-Argument_principle1.svg.png)
정의
편집연결 열린집합 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 가 주어졌고, 유리형 함수 가 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 편각 원리에 따르면 다음이 성립한다.[1][2]
여기서 는 의 내부에 포함된 점들에 대한 합이며, 는
을 만족시키는 정수이다. 즉, 만약 이 영점이라면 영점의 차수이며, 이 극점이라면 극점의 차수의 −1배이며, 영점이나 극점이 아니라면 이다. 유리형 함수의 영점 또는 극점은 고립점이므로, 는 에서 유한 개의 영점 또는 극점을 가지며, 따라서 이 합은 유한하다.
증명
편집우선, 는 에서 영점이나 극점을 갖지 않으므로, 위의 경로 적분이 존재한다. 임의의 내부의 점 에 대하여, 다음과 같은 유리형 함수 를 정의하자.
그렇다면, 의 정의에 의하여, 는 어떤 열린 근방 에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 따라서 는 에서 극점을 갖지 않는다. 이제 을 취하자. 그렇다면 코시 적분 정리에 의하여
이며, 따라서 유수 정리에 의하여
이다.
일반화
편집연결 열린집합 속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선 가 주어졌고, 유리형 함수 가 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 정칙 함수 에 대하여,
이다.[3] 이 정리에서
를 취하면 편각 원리를 얻으며, 어떤 에 대하여
역사
편집프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.
같이 보기
편집각주
편집- ↑ 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 212쪽.
- ↑ Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8, p.90.
- ↑ 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 268쪽.
외부 링크
편집- “Argument, principle of the”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Argument principle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.