없앨 수 있는 특이점

복소해석학에서, 정칙함수없앨 수 있는 특이점이란 그 점에서 함수가 정의되어 있지는 않지만, 결과적으로 함수가 그 점의 근방에서 정칙이 되도록 정의될 수 있는 점을 말한다.

x = 2에서 없앨 수 있는 특이점을 갖는 포물선의 그래프

예를 들어, (정규화되지 않은) 싱크함수

z = 0을 특이점으로 갖는다. 이 특이점은 z가 0으로 갈 때의 극한인, 으로 정의함으로써 제거될 수 있다. 결과로 얻은 함수는 정칙함수이다. 이 경우 문제는 부정형으로 주어졌기 때문에 초래되었다.. 해당 특이점 주변에서 에 대한 거듭제곱 전개를 취하면

형식적으로, 만일 복소평면 열린 부분집합이고, 의 점이며, 정칙함수일 때, 에서 와 일치하는 정칙함수 가 있으면, 없앨 수 있는 특이점이라 한다. 이때, 그러한 가 존재하면, 위에 정칙적으로 확장 가능하다고 한다.

리만의 정리편집

없앨 수 있는 특이점에 대한 리만의 정리는 다음과 같다.

정리.  가 복소평면의 열린 부분집합이고,   의 점이며  가 집합  에서 정의된 정칙함수라 하자. 그러면 다음은 동치이다:

  1.   로 정칙적으로 확장 가능하다.
  2.   로 연속적으로 확장 가능하다.
  3.  유계 근방이 존재한다.
  4.  .

1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4의 함의는 자명하다. 4 ⇒ 1를 증명하기 위해,  에서의 정칙성이  에서 해석적인 것과 동치임을 상기하자(증명), 즉 거듭제곱급수 표현을 갖는다는 것이다. 다음을 정의하자.

 

분명히, hD -{a}에서 정칙이고, (4)에 의해 다음이 존재한다.

 

따라서 hD에서 정칙이고 a에 대한 테일러 급수 표현을 갖는다.

 

c0 = h(a) = 0이고 c1 = h'(a) = 0이므로

 

따라서, z ≠ a일 때, 다음을 얻는다.

 

그런데,

 

D에서 정칙이므로, f의 확장이다.

다른 종류의 특이점편집

실변수 함수와 달리, 정칙함수는 충분히 그들의 특이점을 완전히 분류할 수 있을만큼 굳다. 정칙함수의 특이점은 실제로는 전혀 특이점이 아닌, 즉 없앨 수 있는 특이점이거나, 다음의 두 종류 중 하나이다.

  1. 리만의 정리에 비추어, 없앨 수 없는 특이점이 주어지면,  인 자연수  이 존재하는지 물을 수도 있을 것이다. 만일 그렇다면,   극점이라 하고, 가장 작은   위수라 한다. 그러므로 없앨 수 있는 특이점은 정확히 위수가 0인 극점이다. 정칙함수는 이것의 또다른 극점을 균일하게 폭발한다.
  2. 만일  의 고립특이점  가 없앨 수 있는 특이점도, 극점도 아니면, 이를 본질적 특이점이라 한다. 피카르의 대정리는 그러한  는 모든 구멍 뚫린 열린 근방  를 최대 한 점을 예외점으로 갖는 복소평면 전체로 사상함을 보여준다.

같이 보기편집

외부 링크편집