열린집합
일반위상수학에서 열린집합(-集合, 영어: open set) 또는 개집합(開集合)은 스스로의 경계를 전혀 포함하지 않는, 위상 공간의 부분 집합이다. 마찬가지로, 닫힌집합(-集合, 영어: closed set) 또는 폐집합(閉集合)은 스스로의 경계를 모두 포함하는, 위상 공간의 부분 집합이다. 열린집합은 닫힌집합의 여집합이며, 반대로 닫힌집합은 열린집합의 여집합이다.
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이름과 달리, 열린집합과 닫힌집합의 개념은 서로 반대말이 아니다. 즉, 주어진 부분 집합은 동시에 열린집합이자 닫힌집합일 수 있으며, 이러한 부분 집합을 열린닫힌집합(-集合, 영어: clopen set) 또는 개폐집합(開閉集合)이라고 한다.
정의
편집열린집합과 닫힌집합
편집위상 공간의 정의에서, 열린집합의 개념은 보통 무정의 개념으로 간주된다. 즉, 위상 공간은 특정한 집합족 를 갖춘 집합이며, 의 원소를 열린집합이라고 한다. 만약 위상 공간을 열린집합이 아닌 다른 방법으로 정의하게 된다면, 위상 공간 의 부분 집합 에 대하여 다음 개념들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 열린집합이라고 한다.
- (닫힌집합을 통한 정의) 가 닫힌집합이다.
- (내부를 통한 정의)
- (폐포를 통한 정의)
- (경계를 통한 정의)
- (극한점을 통한 정의) . 여기서 는 극한점의 집합이다.
- (밀착점을 통한 정의) . 여기서 은 밀착점의 집합이다.
마찬가지로, 위상 공간 의 부분 집합 에 대하여 다음 개념들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 닫힌집합이라고 한다.
- (열린집합을 통한 정의) 가 열린집합이다.
- (폐포를 통한 정의)
- (내부를 통한 정의)
- (경계를 통한 정의)
- (극한점을 통한 정의) . 여기서 는 극한점의 집합이다.
- (밀착점을 통한 정의) . 여기서 은 밀착점의 집합이다.
위상 공간 의 열린집합들의 집합족은 로, 닫힌집합들의 집합족은 로 표기한다. (이 기호는 보렐 위계의 일부에서 유래한다.)
주어진 부분 집합을 포함하는 최소의 닫힌집합을 그 폐포라 하며, 주어진 부분 집합에 포함되는 최대의 열린집합을 그 내부라 한다.
열린닫힌집합
편집어떤 위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 집합을 열린닫힌집합이라고 한다.
- 는 열린집합이며 닫힌집합이다. 즉, 이다.[1]:4, §1.6
- 는 정칙 열린집합이며 정칙 닫힌집합이다. 즉, 이다.
- . 즉, 의 경계는 공집합이다.[2]:87, Exercise 3.4.7
- 는 닫힌집합이며, 이다.[3]:§2
위상 공간 의 열린닫힌집합들의 집합족은 로 표기한다. (이 기호는 보렐 위계의 일부에서 유래한다.)
정칙 열린집합과 정칙 닫힌집합
편집위상 공간 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합 를 정칙 열린집합(正則-集合, 영어: regular open set)이라고 한다.
- 스스로의 폐포의 내부와 일치한다. 즉, 이다.[4]:29, Problem 3D[5]:6, §I.1[6]:50, Exercise 8.30
- 인 닫힌집합 가 존재한다.
- 정칙 닫힌집합의 여집합이다.
마찬가지로, 위상 공간 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합 를 정칙 닫힌집합(正則-集合, 영어: regular closed set)이라고 한다.
성질
편집함의 관계
편집위상 공간의 부분 집합에 대하여, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
정칙 열린집합 ⇒ 열린집합 ⇗ ⇘ 열린닫힌집합 보렐 집합 ⇘ ⇗ ⇘ 정칙 닫힌집합 ⇒ 닫힌집합 준열린집합 ⇒ 부분 집합 ⇗ 조밀 열린집합의 여집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합 ⇒ 제1 범주 집합
연산에 대한 닫힘
편집임의의 위상 공간에서, 열린집합·닫힌집합·열린닫힌집합·정칙 열린집합·정칙 닫힌집합들은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.[4]:29, Problem 3D
집합족 | 유한 교집합에 대해 닫힘 | 임의의 교집합에 대해 닫힘 | 유한 합집합에 대해 닫힘 | 임의의 합집합에 대해 닫힘 | 여집합에 대해 닫힘 | 연속 함수에 대한 원상 |
---|---|---|---|---|---|---|
열린집합 | ⭕ | ❌ | ⭕ | ❌ | ⭕ | |
닫힌집합 | ⭕ | ⭕ | ❌ | ❌ | ⭕ | |
열린닫힌집합 | ⭕ | ❌ | ⭕ | ❌ | ⭕ | ⭕ |
정칙 열린집합 | ⭕ | ❌ | ❌ | ❌ | ❌ | |
정칙 닫힌집합 | ❌ | ⭕ | ❌ | ❌ | ❌ |
위 표에서, ⭕는 집합족이 주어진 연산에 대하여 닫혀 있다는 뜻이다. 예를 들어, 열린집합의 유한 교집합은 항상 열린집합이다. ❌는 일반적인 위상 공간에서 집합족이 주어진 연산에 대하여 닫혀 있지 않을 수 있다는 뜻이며, 특정 위상 공간에서는 집합족들이 추가 연산에 대하여 닫혀 있을 수 있다. 예를 들어, 알렉산드로프 공간에서 열린집합들은 임의의 교집합에 대하여 닫혀 있다.
열린집합·닫힌집합의 개념을 사용하여, 두 위상 공간 사이의 다음과 같은 특별한 함수들을 정의할 수 있다.
집합족 | 상 보존 | 원상 보존 |
---|---|---|
열린집합 | 열린 함수 | 연속 함수 |
닫힌집합 | 닫힌 함수 |
즉, 열린집합의 상이 항상 열린집합인 함수는 열린 함수라고 하며, 닫힌집합의 원상이 항상 닫힌집합인 함수는 연속 함수라고 한다.
연결성과의 관계
편집임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 연결 공간이다.
- 정확히 두 개의 열린닫힌집합을 갖는다. (이는 물론 와 이다.)
임의의 열린닫힌집합은 (유한 또는 무한 개의) 연결 성분들의 합집합이다.
유한 개의 연결 성분을 갖는 위상 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
그러나 무한 개의 연결 성분을 갖는 위상 공간의 경우, 열린집합이 아닌 연결 성분이 존재할 수 있다.
순서론적 성질
편집위상 공간 의 열린닫힌집합들은 합집합·교집합·여집합 아래 불 대수를 이룬다. 반대로, 스톤 표현 정리에 따라 모든 불 대수는 어떤 위상 공간의 열린닫힌집합 불 대수로 나타낼 수 있다.
위상 공간 위의 정칙 열린집합들의 집합족 위에 다음과 같은 연산 들을 부여하면, 이는 완비 불 대수를 이룬다.[7]:66, Theorem 10.1
임의의 정칙 열린집합들의 족 의 상한과 하한은 각각 다음과 같다.
마찬가지로, 위상 공간 위의 정칙 닫힌집합들의 집합족 위에 다음과 같은 연산 들을 부여하면, 이는 완비 불 대수를 이룬다.
임의의 정칙 닫힌집합들의 족 의 상한과 하한은 각각 다음과 같다.
예
편집거리 공간
편집유클리드 공간을 비롯한 거리 공간 이 주어져 있을 때, 중심 의, 반지름 의 열린 공은 다음과 같다.
의 모든 열린 공들은 정칙 열린집합이다. 의 열린집합들은 의 열린 공들의 합집합이다. (다시 말해, 열린 공들은 의 기저를 이룬다.)
즉, 임의의 부분 집합 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 의 열린집합이다.
- 임의의 에 대하여, 가 되는 양의 실수 가 존재한다.
전순서 집합
편집실수선과 같은 전순서 집합 의 순서 위상에서, 열린집합들은 열린구간들의 합집합이다. 즉, 모든 열린구간
또는
또는
은 정칙 열린집합이며, 열린구간들의 합집합은 열린집합이며, 반대로 모든 열린집합은 열린구간의 합집합으로 나타낼 수 있다. 다시 말해, 열린구간들은 의 기저를 이룬다. (그러나 열린구간들의 합집합이 정칙 열린집합일 필요는 없다.)
이산 공간
편집임의의 위상 공간 에 대하여, 다음 조건들이 모두 서로 동치이다.
- 의 모든 부분 집합은 열린닫힌집합이다.
- 의 모든 부분 집합은 열린집합이다.
- 의 모든 부분 집합은 닫힌집합이다.
- 의 모든 부분 집합은 정칙 열린집합이다.
- 의 모든 부분 집합은 정칙 닫힌집합이다.
- 는 이산 공간이다.
즉, 이산 공간에서는 (정의에 따라) 모든 부분 집합들이 열린집합·닫힌집합·정칙 열린집합·정칙 닫힌집합·열린닫힌집합이다.
비이산 공간
편집비이산 공간 에서, 열린집합은 와 밖에 없다. 마찬가지로, 닫힌집합·정칙 열린집합·정칙 닫힌집합·열린닫힌집합 또한 이 둘 밖에 없다.
열린닫힌집합
편집임의의 위상 공간 에서, 와 은 열린닫힌집합이며, 따라서 항상 정칙 열린집합이자 정칙 닫힌집합이다.
T1 공간 의 고립점 이 주어졌을 때, 한원소 집합 은 (정의에 따라) 열린닫힌집합이다.
정칙 열린집합이 아닌 열린집합
편집실수선의 열린집합
을 생각하자. 그렇다면,
이므로, 는 열린집합이지만 정칙 열린집합이 아니다. 마찬가지로, 그 여집합 는 닫힌집합이지만 정칙 닫힌집합이 아니다.
또한, 열린구간 과 는 정칙 열린집합이므로, 정칙 열린집합들은 유한 합집합에 대하여 닫혀 있지 않음을 알 수 있다. 마찬가지로, 정칙 닫힌집합들은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있지 않음을 알 수 있다.
절댓값 함수 는 연속 함수이다. 이 함수 아래, 정칙 열린집합 의 원상
은 열린집합이지만 정칙 열린집합이 아니다. 즉, 정칙 열린집합은 연속 함수에 대한 원상에 대하여 닫혀 있지 않다.
역사
편집열린집합·닫힌집합의 개념은 극한점의 개념의 등장 이후 발달되었다.[8] ‘닫힌집합’(독일어: abgeschlossene Menge, 프랑스어: ensemble fermé)이라는 용어는 게오르크 칸토어가 1884년에 최초로 사용하였다.[8]:223, §3[9]:470, §17[10]:388 ‘열린집합’(프랑스어: domaine ouvert)이라는 용어는 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 최초로 사용하였다.[8]:227–228, §8[11]
각주
편집- ↑ Davey, Brian A.; Priestley, Hilary A. (2002). 《Introduction to lattices and order》 (영어) 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511809088. ISBN 978-0-521-78451-1. Zbl 1002.06001.
- ↑ Mendelson, Bert (1975). 《Introduction to topology》 (영어) 3판. Allyn and Bacon. Zbl 0304.54003.
- ↑ Dontchev, Julian (1998). 〈Survey on preopen sets〉. 《位相空間論とその応用研究会》 (영어).
八代 工業高等専門学校. 1–18쪽. arXiv:math/9810177. Bibcode:1998math.....10177D.|출판사=
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외부 링크
편집- “Open set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Closed set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Canonical set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Open-closed set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Open set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Closed set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Clopen”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Open subspace”. 《nLab》 (영어).
- “Closed subspace”. 《nLab》 (영어).
- “Clopen set”. 《nLab》 (영어).
- “Definition: open set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: closed set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: regular open set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: regular closed set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Finite intersection of regular open sets is regular open”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Union of regular open sets is not necessarily regular open”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: clopen set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Set is clopen iff boundary is empty”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Connected iff no proper clopen sets”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Open and closed sets in topological space”. 《ProofWiki》 (영어).