다변수 미적분학 에서 역함수 정리 (逆函數定理, 영어 : inverse function theorem )는 주어진 함수 가 국소적으로 충분히 매끄러운 역함수 를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다.
임의의
y
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
F
y
:
U
→
R
n
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}
F
y
(
x
)
=
x
+
(
D
f
(
a
)
)
−
1
(
y
−
f
(
x
)
)
∀
x
∈
U
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U}
그렇다면, 다음이 성립한다.
D
F
y
(
x
)
=
(
D
f
(
a
)
)
−
1
(
D
f
(
a
)
−
D
f
(
x
)
)
∀
x
∈
U
,
y
∈
R
n
{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
그렇다면
D
f
{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }
a
∈
V
⊆
U
{\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U}
‖
D
f
(
a
)
−
D
f
(
x
)
‖
<
1
2
‖
D
f
(
a
)
)
−
1
‖
{\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}}
즉, 다음이 성립한다.
‖
D
F
y
(
x
)
‖
<
1
2
∀
x
∈
V
,
y
∈
R
n
{\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2}}\qquad \forall \mathbf {x} \in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
즉, 다음이 성립한다.
‖
F
y
(
x
)
−
F
y
(
x
′
)
‖
≤
1
2
‖
x
−
x
′
‖
∀
x
,
x
′
∈
V
,
y
∈
R
n
{\displaystyle \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert \qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
이제
f
|
V
{\displaystyle \mathbf {f} |_{V}}
x
,
x
′
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V}
f
(
x
)
=
f
(
x
′
)
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} ')}
x
,
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '}
F
f
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}}
F
f
(
x
)
(
x
)
=
x
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} )=\mathbf {x} }
F
f
(
x
)
(
x
′
)
=
x
′
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} ')=\mathbf {x} '}
x
=
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} '}
f
|
V
{\displaystyle \mathbf {f} |_{V}}
이제
f
(
V
)
{\displaystyle \mathbf {f} (V)}
x
′
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} '\in V}
B
(
f
(
x
′
)
,
ϵ
)
⊆
f
(
V
)
{\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )\subseteq \mathbf {f} (V)}
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
y
∈
B
(
f
(
x
′
)
,
ϵ
)
{\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}
F
y
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }}
V
{\displaystyle V}
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0}
B
¯
(
x
′
,
δ
)
⊆
V
{\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )\subseteq V}
y
∈
B
(
f
(
x
′
)
,
ϵ
)
{\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}
F
y
(
B
(
x
′
,
δ
)
)
⊆
B
(
x
′
,
δ
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}
ϵ
=
δ
/
2
‖
(
D
f
(
a
)
)
−
1
‖
{\displaystyle \epsilon =\delta /2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }
y
∈
B
¯
(
f
(
x
′
)
,
ϵ
)
{\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}
x
∈
B
(
x
′
,
δ
)
{\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}
‖
F
y
(
x
)
−
x
′
‖
≤
‖
F
y
(
x
)
−
F
y
(
x
′
)
‖
+
‖
F
y
(
x
′
)
−
x
′
‖
≤
1
2
‖
x
−
x
′
‖
+
‖
(
D
f
(
a
)
)
−
1
(
y
−
f
(
x
′
)
)
‖
<
δ
{\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {x} '\Vert &\leq \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert +\Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')-\mathbf {x} '\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert +\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} '))\Vert \\&<\delta \end{aligned}}}
즉,
F
y
(
x
)
∈
B
¯
(
x
′
,
δ
)
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}
F
y
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }}
B
¯
(
x
′
,
δ
)
{\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}
축약 사상 이며, 바나흐 고정점 정리 에 따라,
F
y
{\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }}
x
∈
B
¯
(
x
′
,
δ
)
{\displaystyle \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}
y
=
f
(
x
)
∈
f
(
B
¯
(
x
′
,
δ
)
)
⊆
f
(
V
)
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbf {f} ({\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \mathbf {f} (V)}
f
(
V
)
{\displaystyle \mathbf {f} (V)}
이제 임의의
x
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} \in V}
D
f
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )}
h
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}}
D
f
(
x
)
h
=
0
{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} =\mathbf {0} }
0
=
‖
D
f
(
x
)
h
‖
≥
‖
D
f
(
a
)
h
‖
−
‖
(
D
f
(
a
)
−
D
f
(
x
)
)
h
‖
≥
‖
h
‖
‖
(
D
f
(
a
)
)
−
1
‖
−
‖
D
f
(
a
)
−
D
f
(
x
)
‖
‖
h
‖
≥
‖
h
‖
2
‖
(
D
f
(
a
)
)
−
1
‖
{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} \Vert \\&\geq \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )\mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}-\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert \Vert \mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}\\\end{aligned}}}
즉,
h
=
0
{\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {0} }
D
f
(
x
)
{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )}
이제
g
:
f
(
V
)
→
R
n
{\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbf {f} (V)\to \mathbb {R} ^{n}}
f
(
x
)
→
x
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {x} }
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
y
,
y
+
k
∈
f
(
V
)
{\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {y} +\mathbf {k} \in \mathbf {f} (V)}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )}
y
+
k
=
f
(
x
+
h
)
{\displaystyle \mathbf {y} +\mathbf {k} =\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )}
x
,
x
+
h
∈
V
{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {h} \in V}
1
2
‖
h
‖
≥
‖
F
y
(
x
+
h
)
−
F
y
(
x
)
‖
=
‖
h
−
(
D
f
(
a
)
)
−
1
k
‖
≥
‖
h
‖
−
‖
(
D
f
(
a
)
)
−
1
‖
‖
k
‖
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {h} \Vert &\geq \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert \\&=\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert \\&\geq \Vert \mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert \Vert \mathbf {k} \Vert \end{aligned}}}
즉,
‖
k
‖
≥
‖
h
‖
/
(
2
‖
(
D
f
(
a
)
)
−
1
‖
)
{\displaystyle \Vert \mathbf {k} \Vert \geq \Vert \mathbf {h} \Vert /(2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert )}
lim sup
k
→
0
‖
g
(
y
+
k
)
−
g
(
y
)
−
(
D
f
(
x
)
)
−
1
k
‖
‖
k
‖
=
lim sup
k
→
0
‖
h
−
(
D
f
(
x
)
)
−
1
(
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
)
‖
‖
k
‖
≤
lim sup
h
→
0
‖
(
D
f
(
x
)
)
−
1
‖
‖
(
D
f
(
a
)
)
−
1
‖
‖
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
−
(
D
f
(
x
)
)
−
1
h
‖
‖
h
‖
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {g} (\mathbf {y} +\mathbf {k} )-\mathbf {g} (\mathbf {y} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}&=\limsup _{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}(\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}\\&\leq \limsup _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}{\frac {\Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {h} \Vert }{\Vert \mathbf {h} \Vert }}\\&=0\end{aligned}}}
즉,
D
g
(
x
)
=
(
D
f
(
g
(
y
)
)
−
1
{\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {y} ))^{-1}}
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
다음과 같은 함수
f
:
R
2
→
R
2
{\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
f
(
x
,
y
)
=
(
e
x
cos
y
,
e
x
sin
y
)
∀
x
,
y
∈
R
{\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
그렇다면,
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
C
∞
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}
det
D
f
(
x
,
y
)
=
e
2
x
≠
0
{\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (x,y)=e^{2x}\neq 0}
음함수 정리에 따라,
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
C
∞
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
0 미분동형사상
편집
다음과 같은 함수
f
:
R
2
→
R
2
{\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
f
(
x
,
y
)
=
(
x
3
,
y
)
∀
x
,
y
∈
R
{\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(x^{3},y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }
그렇다면,
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
f
−
1
{\displaystyle f^{-1}}
f
−
1
(
u
,
v
)
=
(
u
1
/
3
,
v
)
∀
u
,
v
∈
R
{\displaystyle f^{-1}(u,v)=(u^{1/3},v)\qquad \forall u,v\in \mathbb {R} }
즉,
f
{\displaystyle \mathbf {f} }
C
0
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}
det
D
f
(
0
,
0
)
=
0
{\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (0,0)=0}
C
0
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}
k
>
0
{\displaystyle k>0}
C
k
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}
