역함수 정리

다변수 미적분학에서, 역함수 정리(逆函數定理, 영어: inverse function theorem)는 주어진 함수가 국소적으로 충분히 매끄러운 역함수를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다.

정의편집

양의 정수  열린 근방    함수  가 다음을 만족시킨다고 하자.

 

여기서 좌변은   에서의 야코비 행렬식이다. 그렇다면,   에서 국소   미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린 근방  가 존재한다.

  •  는 열린집합이다.
  •  단사 함수이다.
  •  ,    함수이다.

이를 역함수 정리라고 한다.[1]:322-323

일변수의 경우편집

열린구간    함수  가 다음을 만족시킨다고 하자.

 

그렇다면,   에서 국소   미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간  가 존재한다.

  •  는 열린구간이다.
  •  는 단사 함수이다.
  •  ,    함수이다.

이는 역함수 정리의 일변수 버전이다.

증명편집

임의의  에 대하여, 다음과 같은 함수  를 정의하자.

 

그렇다면, 다음이 성립한다.

 

그렇다면  가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방  가 존재한다.

 

즉, 다음이 성립한다.

 

즉, 다음이 성립한다.

 

이제  가 단사 함수임을 보이자.   를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면,  는 모두  의 고정점이다. 즉,  이며  이다. 이를 위에 대입하면,  를 얻는다. 따라서  는 단사 함수이다.

이제  가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의  에 대하여,   을 찾자. 그러려면 임의의  에 대하여,   에서 고정점을 가지는 것으로 족하다.   를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의  에 대하여  가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실,  를 취하면, 임의의   에 대하여, 다음이 성립한다.

 

즉,  이다. 즉,    위의 축약사상이며, 바나흐 고정점 정리에 따라,  는 고정점  를 갖는다. 따라서,  이며,  는 열린집합이다.

이제 임의의  에 대하여,  가 가역 행렬임을 보이자.   을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 

즉,  이다. 따라서  는 가역 행렬이다.

이제  ,    함수임을 보이자. 임의의  에 대하여,   또한   를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

 

즉,  이다. 따라서, 다음이 성립한다.

 

즉,  이며,    함수이다.

따름정리편집

열린 함수 관련편집

열린집합    함수  가 다음을 만족시킨다고 하자.

 

그렇다면,  열린 함수이다. 즉, 모든 열린집합    은 역시 열린집합이다.

(대역) 미분동형사상 관련편집

열린집합   및 단사   함수  가 다음을 만족시킨다고 하자.

 

그렇다면,    미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

  •  는 열린집합이다.
  •  은 역시   함수이다.

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미분동형사상이 아닌 국소 미분동형사상편집

다음과 같은 함수  를 생각하자.

 

그렇다면,    함수이며, 또한 다음을 만족시킨다.

 

음함수 정리에 따라,  는 (모든 점에서) 국소   미분동형사상이다. 그러나  는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다.

야코비 행렬식이 0인 점을 갖는 C0 미분동형사상편집

다음과 같은 함수  를 생각하자.

 

그렇다면,  는 연속 함수이며, 다음과 같은 연속 역함수  를 갖는다.

 

즉,    미분동형사상이다. 그러나,  이다. 즉,   미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가질 수 있다.  일 경우,   미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가지지 않는다.

같이 보기편집

각주편집

  1. 김락중; 박종안; 이춘호; 최규흥 (2007). 《해석학 입문》 3판. 경문사. ISBN 978-8-96-105054-8. 

외부 링크편집