주 메뉴 열기

열린 함수와 닫힌 함수

(열린 함수에서 넘어옴)

정의편집

위상 공간   사이의 함수  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 열린 함수라고 한다.

  • 모든 열린집합  에 대하여  열린집합이다.
  • 모든  에 대하여  가 열린집합인  기저  가 존재한다.
  • 임의의   및 그 열린 근방  에 대하여,   열린 근방  가 존재한다.
  • 임의의  에 대하여,  이다. 여기서  내부이다.

위상 공간   사이의 함수  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 닫힌 함수라고 한다.

  • 모든 닫힌집합  에 대하여,  닫힌집합이다.
  • 임의의  에 대하여,  이다. 여기서  폐포이다.

성질편집

함수  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

만약  이산 공간이라면, 모든 함수  는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).

두 개의 열린 함수의 합성은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 합성은 닫힌 함수이다.

위상 공간들의 집합  곱공간  이 주어졌을 때, 자연스러운 사영  은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.

만약  콤팩트 공간이라면, 사영  는 닫힌 사상이다 (튜브 보조정리).

스킴 사상편집

스킴 사이의 열린 사상 또는 닫힌 사상은 (연속 함수로서) 열린 함수 또는 닫힌 함수를 이루는 스킴 사상이다.

열린 사상과 닫힌 사상은 밑 변환에 대하여 불안정하다. 보편 열린 사상(영어: universally open morphism)/보편 닫힌 사상(영어: universally closed morphism)은 다음 조건을 만족시키는 스킴 사상  이다.

임의의 스킴 사상  에 대하여, 밑 변환  은 열린 사상/닫힌 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

닫힌 사상 ∩ 준콤팩트 함수 ⊋ 보편 닫힌 사상 ⊋ 고유 사상닫힌 몰입 ⊋ 스킴 동형
열린 사상 ⊋ 보편 열린 사상 ⊋ 국소 유한 표시 평탄 사상열린 몰입 ⊋ 스킴 동형

 가 열린 사상 · 닫힌 사상 · 보편 열린 사상 · 보편 닫힌 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

  • (합성에 대한 닫힘)  에 대하여, 만약    -사상이라면   역시  -사상이다.
  • (fpqc 위상에서의 내림)  에 대하여, 만약 밑 변환   -사상이며,  fpqc 사상이라면   역시  -사상이다.

여기서 fpqc 사상평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 으로 하는 정의역콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

편집

열린 함수가 아닌 연속 닫힌 함수편집

함수

 
 

연속 함수이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, 열린집합   이므로 열린집합이 아니다.

연속 함수가 아닌 열린 닫힌 함수편집

함수

 
 

는 ( 이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다.

함수

 
 

전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다.

닫힌 함수가 아닌 연속 열린 함수편집

사영 함수

 
 

전사 함수이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합   이므로 닫힌집합이 아니다.

외부 링크편집

같이 보기편집