음함수 정리

다변수 미적분학에서, 음함수 정리(陰函數定理, 영어: implicit function theorem)는 변수들에 대한 방정식이 국소적으로 충분히 매끄러운 함수 관계를 나타낼 충분 조건을 제시하는 정리이다.

도입편집

2차원 유클리드 공간   위에서 원점  을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 의 방정식

 

을 생각하자. 이 방정식은  에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

 

또한 이 방정식은  에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.

 

이 방정식을 만족시키는 연속 함수 에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나  을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자.

 

이렇게 정의한  의 그래프는  에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면  의 교선이다.   주변에서  인 점  을 임의로 취하자. 여기에는 특히   역시 포함된다.  가 고정되었을 때,    주변에서  에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로  에 대하여  이 성립하며,  에 대하여  이 성립한다. 따라서  의 영점 집합은  에서 국소적으로 어떤 함수  의 그래프와 일치한다.   에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은  이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며  을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실  은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립

 
 
 

에서  가 국소적으로  의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다.

 

이 부등식의 좌변은 함수  의 변수  에 대한 야코비 행렬식이다. 특히, 만약

 
 
 

일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은  을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식  이다.

정의편집

열린 근방   연속 함수  ,   ( ,  )가 다음을 만족시킨다고 하자.

  •   역시 연속 함수이다. 여기서  이다.
  •  
  •  

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린 근방   및 유일한 연속 함수  가 존재한다.

  •  
  •  
  • 임의의  에 대하여,  

또한,  에 대하여, 만약    함수라면,   역시   함수이며,  의 도함수  는 다음과 같다.

 

여기서  이다. 이를 음함수 정리라고 한다.    함수임을 가정하지 않을 경우,  의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.

가장 간단한 경우편집

두 열린구간    및 연속 함수  가 다음을 만족시킨다고 하자.

  •   역시 연속 함수이다.
  •  
  •  

그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간   및 유일한 연속 함수  가 존재한다.

  •  
  •  
  • 임의의  에 대하여,  

또한,  에 대하여, 만약    함수라면,   역시   함수이며,  의 도함수  는 다음과 같다.

 

이는 음함수 정리에서  을 취한 가장 간단한 경우이다.

증명편집

수학적 귀납법을 통한 증명편집

수학적 귀납법을 사용하자.

m=1편집

먼저  일 경우를 증명하자. 편의상  라고 가정하자. 그러면  에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

  •  
  •  
  • 임의의   에 대하여,  

이에 따라   에서 순증가 함수이며, 또한  이므로,  이다. 따라서 다음을 만족시키는  가 존재한다.

  • 임의의  에 대하여,  

따라서, 임의의  에 대하여,   에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라  인 유일한  가 존재한다. 이렇게 정의한 함수  는 임의의  에 대하여  를 만족시키며, 특히  이다. 이제  의 연속성을 증명하자. 임의의   및 충분히 작은  에 대하여,  이므로, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

  •  
  • 임의의  에 대하여,  

따라서, 임의의  에 대하여,  이다. 이제  의 유일성을 증명하자. 연속 함수  가 다음을 만족시킨다고 가정하자.

  •  
  •  
  • 임의의  에 대하여,  

그렇다면, 다음과 같은 집합이  열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다.

 

우선 임의의  에 대하여, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

  •  
  • 임의의  에 대하여,  

따라서, 임의의  에 대하여,  이다. 즉,   의 열린집합이다. 또한 임의의  에 대하여,  의 연속성에 의하여  이다. 즉,   의 닫힌집합이다.  연결 집합이며, 또한  이므로,  이다. 즉, 임의의  에 대하여,  이다. 이제    함수일 때   성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의   에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

 

그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

따라서, 다음이 성립한다.

 

또한   가 연속 함수이므로,  는 연속 미분 가능 함수이다.

m>1편집

이제  일 경우를 증명하자.  의 원소를  로 쓰고,  와 같이 표기하자. 또한 편의상  이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수  가 존재하게 되는  가 존재한다.

  •  
  •  
  •  
  • 임의의    에 대하여,  

다음과 같은 함수  를 정의하자.

 

그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의   에 대하여 다음이 성립한다.

 

따라서  이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수  가 존재하게 되는  가 존재한다.

  •  
  •  
  • 임의의  에 대하여,  

이제  를 다음과 같이 정의하자.

 

그렇다면,  는 연속 함수이며, 다음이 성립한다.

 
 
 
 

이러한  의 유일성은  의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약    함수라면, 각   에 대하여,  의 양변에  를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다.

 

이를 행렬로 표기하면  의 공식을 얻으며, 따라서   역시   함수이다.

바나흐 고정점 정리를 통한 증명편집

다음과 같은 함수  를 정의하자.

 

그러면 다음이 성립한다.

 

따라서  이다. 또한  이므로,  를 취하였을 때, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

  •  
  •  
  • 임의의   에 대하여,  이며  

또한,  이므로, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

  • 임의의  에 대하여,  

이제 임의의  에 대하여,    위의  -립시츠 연속 함수임을 증명하자. 우선 임의의  에 대하여, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

따라서  이다. 또한, 임의의  에 대하여, 다음을 만족시키는  가 존재한다.

 

즉,    위의  -립시츠 연속 함수이다. 또한  바나흐 공간이므로, 바나흐 고정점 정리에 따라   에서 유일한 고정점  를 가진다. 즉, 다음이 성립한다.

 

이제 이렇게 정의한  가 연속 함수임을 증명하자. 임의의  에 대하여, 다음이 성립한다.

 
 

즉, 다음이 성립한다.

 

따라서  는 연속 함수가 맞다.  의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제    함수일 때   성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의  에 대하여, 다음과 같이 표기하자.

 

그러면 다음이 성립한다.

 

마지막 등호는   때문이다. 즉,

 

가 성립하며,    함수이다.

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닫힌 형식으로 나타낼 수 없는 함수편집

어떤  에 대하여, 케플러 방정식

 

을 생각하자. 다음과 같은 함수  를 정의하자.

 

그렇다면, 임의의  에 대하여,

 
 

이므로,  인 유일한  가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수    함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 ( ) 함수와 동치이다. 그러나 이러한 함수  는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다.

충분 조건의 비필요성편집

다음과 같은 연속 함수   를 생각하자.

 
 
 

그러면  에 대하여 다음 세 가지가 동치이다.

  •  
  •  
  •  

즉,    또는  가 유도하는 음함수이다. 그러나  는 존재하지 않으며,  이다.

같이 보기편집