바나흐 고정점 정리

수학에서, 바나흐 고정점 정리(-固定點定理, 영어: Banach fixed-point theorem) 또는 축약 사상 정리(縮約寫像定理, 영어: contraction mapping theorem)는 완비 거리 공간 위의 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다는 정리이다.

정의편집

거리 공간   위의 축약 사상(縮約寫像, 영어: contraction mapping)은 1 미만의 상수에 대한 립시츠 연속 함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는  이 존재하는 함수  이다.

  • 임의의  에 대하여,  

바나흐 고정점 정리에 따르면, 완비 거리 공간   위의 축약 사상  은 유일한 고정점을 갖는다. 즉,   가 존재하며, 이는 유일하다.

사실, 임의의  에 대하여, 반복 점렬   로 수렴한다. (여기서    합성이다.) 그 오차의 한 상계는 다음과 같다.[1]

 

증명1 (통상적인 증명):

우선, 임의의  에 대하여, 다음이 성립한다.

 

따라서, 임의의  에 대하여,

 

이다. 즉,  코시 열이며, 어떤 점  로 수렴한다. 그렇다면,  연속 함수이므로

 

이며,   의 고정점이다.

반대로,   의 고정점이라고 하자. 그렇다면,

 

이므로

 

이다. 즉,  이다.

증명2 (다른 증명):[1]

우선, 임의의  에 대하여,

 

이므로

 

이다. 특히,  가 모두  의 고정점일 경우  이다.

이제, 임의의  에 대하여

 

이다. 즉,  코시 열이며, 어떤 점  으로 수렴한다. 그렇다면,  이며, 또한 다음이 성립한다.

 

응용편집

바나흐 고정점 정리는 다음과 같은 명제들의 증명에서 사용할 수 있다.

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Bessaga (1959)편집

집합   및 함수   이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.[2]

  • 만약 임의의  에 대하여,  의 고정점이 많아야 하나라면,   에 대한 축약 사상이 되는,   위의 거리 함수  가 존재한다.
  • 만약 추가로  이 고정점을 갖는  가 존재한다면,   에 대한 축약 사상이 되는,   위의 완비 거리 함수  가 존재한다.

Hitzler; Seda (2001)편집

T1 공간   위의 함수  가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 유일한 고정점  을 갖는다.
  • 임의의  에 대하여, 점렬   로 수렴한다.

그렇다면,  가 1/2에 대한 축약 사상이 되는,   위의 완비 초거리 함수  가 존재한다.[3]

일반화편집

다양한 방향의 수많은 변형과 일반화가 존재한다.

축약 조건의 약화편집

n번 합성이 축약 사상인 경우편집

완비 거리 공간   위의 함수  에 대하여,  이 축약 사상인  가 존재한다고 하자. 그렇다면,  는 유일한 고정점을 갖는다.[4]

증명:

존재: 바나흐 고정점 정리에 따라,  은 유일한 고정점  을 갖는다.

 

이므로,   역시  의 고정점이다. 따라서  이다.

유일성:  의 고정점은  의 고정점이므로  로 유일하다.

n번 합성에 대한 상수의 급수가 수렴하는 경우편집

완비 거리 공간   위의 함수  에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 수열  이 존재한다고 하자.

  • 임의의   에 대하여,  
  •  

그렇다면,  는 유일한 고정점을 갖는다.[5]

증명:

바나흐 고정점 정리의 증명을 조금 수정한다.

콤팩트 공간에서의 약화편집

축약 사상의 정의에서 상수 1을 취하고 부등식을 엄격한 부등식으로 대체할 경우, 보다 더 약한 조건을 얻는다. 바나흐 고정점 정리는 축약 조건을 이 조건으로 약화할 경우 거짓이 된다. 그러나 콤팩트 공간 조건을 추가할 경우 다시 참이다. (모든 콤팩트 거리 공간은 자동적으로 완비 거리 공간이다.)

구체적으로, 콤팩트 거리 공간   위의 함수  가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 임의의  에 대하여, 만약  라면  

그렇다면,  는 유일한 고정점을 갖는다.[6]

증명:

함수

 

연속 함수이므로, 콤팩트 조건에 따라 이 함수는 어떤 점  에서 최솟값을 갖는다. 특히

 

이며, 따라서  이다.

준축약 사상편집

거리 공간   위의 준축약 사상(영어: quasicontraction mapping)은 다음 조건을 만족시키는  이 존재하는 함수  이다.

  • 임의의  에 대하여,  

완비 거리 공간   위의 준축약 사상  은 유일한 고정점을 갖는다.[7]

약축약 사상편집

거리 공간   위의 약축약 사상(영어: weak contraction mapping)은 다음 조건을 만족시키는 함수  가 존재하는 함수  이다.

  • 임의의  에 대하여,  
  •  연속 함수이며, 증가 함수이다.
  •  

완비 거리 공간   위의 약축약 사상  은 유일한 고정점을 갖는다.[8]

거리 공간의 일반화편집

유사 거리 공간 또는 직사각 거리 공간(영어: rectangular metric space) 또는 뿔 거리 공간(영어: cone metric space) 따위에서의 일반화가 존재한다.

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비(非)완비 거리 공간에 대한 반례편집

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 구간  완비 거리 공간이 아니다. 그 위의 함수

 

는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다.

비(非)콤팩트 공간에 대한, 축약 조건의 약화의 반례편집

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 집합  완비 거리 공간이지만 콤팩트 공간이 아니다. 그 위의 함수

 

를 생각하자. 임의의  에 대하여, 평균값 정리에 따라

 
 

이다. 그러나  는 고정점을 가지지 않는다.

모든 축약 사상이 유일한 고정점을 가지는 비(非)완비 거리 공간편집

(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 집합

 
 

을 생각하자.[9] 이는  닫힌집합이 아니므로 ( ) 완비 거리 공간이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 연속 함수  에 대하여,  의 고정점의 존재를 보이는 것으로 족하다. (이는 모든 축약 사상이 연속 함수이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약  이라면, 0은  의 고정점이다. 이제  에 대하여  이라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.

 
 

그렇다면,  연속 함수이다.  콤팩트 볼록 집합이므로,  는 고정점  을 가진다. 또한,  이며  임을 보일 수 있다. (만약  이라면,

 

이므로  이 되어 모순이다. 그렇다면,

 

이므로,  이며, 따라서

 

이다.)

역사편집

스테판 바나흐가 1922년에 처음 서술하였다.[10][11]

참고 문헌편집

  1. Palais, Richard S. (2007). “A simple proof of the Banach contraction principle”. 《Journal of Fixed Point Theory and Applications》 (영어) 2: 221–223. doi:10.1007/s11784-007-0041-6. ISSN 1661-7738. 
  2. Bessaga, Czesław (1959). “On the converse of Banach fixed-point principle”. 《Colloquium Mathematicum》 (영어) 7: 41–43. doi:10.4064/cm-7-1-41-43. ISSN 0010-1354. MR 111015. 
  3. Hitzler, Pascal; Seda, Anthony Karel (2001). “A "Converse" of the Banach Contraction Mapping Theorem”. 《Journal of Electrical Engineering》 (영어) 52 (10): 3–6. ISSN 1335-3632. 
  4. Bryant, V. W. (1968). “A remark on a fixed point theorem for iterated mappings”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 75: 399–400. doi:10.2307/2313440. ISSN 0002-9890. 
  5. Caccioppoli, Renato (1930). “Un teorema generale sull'esistenza di elementi uniti in una trasformazione funzionale”. 《Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei. Classe di Scienze Fisiche. Matematiche e Naturali. Serie 6》 (이탈리아어) 11: 794–799. 
  6. Edelstein, Michael (1962). “On Fixed and Periodic Points Under Contractive Mappings”. 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) 37: 74–79. doi:10.1112/jlms/s1-37.1.74. ISSN 0024-6107. MR 133102. 
  7. Ćirić, Ljubomir B. (1974). “A generalization of Banach's contraction principle”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 45: 267–273. doi:10.1090/S0002-9939-1974-0356011-2. ISSN 0002-9939. MR 0356011. 
  8. Rhoades, B. E. (2001). “Some theorems on weakly contractive maps”. 《Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications》 (영어) 47 (4): 2683–2693. doi:10.1016/S0362-546X(01)00388-1. ISSN 0362-546X. 
  9. Suzuki, Tomonari; Takahashi, Wataru (1996). “Fixed point theorems and characterizations of metric completeness”. 《Topological Methods in Nonlinear Analysis》 (영어) 8 (2): 371–382. doi:10.12775/TMNA.1996.040. ISSN 1230-3429. 
  10. Banach, Stefan (1922). “Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur applications aux équations intégrales”. 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 3: 133–181. ISSN 0016-2736. 
  11. Ciesielski, Krzysztof (2007). “On Stefan Banach and some of his results” (PDF). 《Banach Journal of Mathematical Analysis》 (영어) 1 (1): 1–10. doi:10.15352/bjma/1240321550. ISSN 1735-8787. 

외부 링크편집