공 (기하학)

(열린 공에서 넘어옴)

수학에서 (영어: ball)은 의 내부를 포함하는 도형이다. 경계인 구를 포함하면 닫힌 공(영어: closed ball), 포함하지 않으면 열린 공(영어: open ball)이라 한다.

유클리드 공간에서, 공은 내부의 공간이다.

3차원 유클리드 공간뿐만 아니라 일반적인 유클리드 공간이나 거리 공간, 위상 공간에서도 공을 정의할 수 있다. n차원 유클리드 공간에서 공은 n-1차원 내부의 공간이다. 따라서 예를 들어 2차원 유클리드 평면에서의 공은 1차원 구인 의 내부 공간, 즉 원판이 된다.

단위공(영어: unit ball)은 반지름이 1인 공이다. 위상수학에서, n차원 유클리드 공간의 닫힌 단위공은 일반적으로 또는 으로 표기하고 열린 단위공은 또는 으로 표기한다.

유클리드 공간에서의 공

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정의

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유클리드 공간  에서  실수  이 주어졌다고 하자.  유클리드 노름이다. 이때 공의 중심(영어: center)  와 공의 반지름(영어: radius)  에 대해 공을 다음과 같이 정의한다.

  • 중심이  , 반지름이  열린 공  는 다음과 같은 집합이다.
     
  • 중심이  , 반지름이  닫힌 공  는 다음과 같은 집합이다.
     

부피

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유클리드 공간에서 반지름이  인 닫힌 공의 부피  은 다음과 같다.

 

여기서  감마 함수이다.

거리 공간에서의 공

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정의

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거리 공간  에서  와 실수  이 주어졌다고 하자. 이때 공의 중심  와 공의 반지름  에 대해 공을 다음과 같이 정의한다.

  • 중심이  , 반지름이  열린 공  는 다음과 같은 집합이다.
     
  • 중심이  , 반지름이  닫힌 공  는 다음과 같은 집합이다.
     

거리 공간에서는 어떤 거리를 주느냐에 따라 공이 '둥근' 형태가 아닐 수 있다. 예를 들어 유클리드 공간에서 체비쇼프 거리를 주면 공은 초입방체가 된다. 한편 일반적으로 닫힌 공이 그에 대응하는 열린 공의 폐포라고 생각할 수 있지만, 그렇지 않은 경우도 있음에 유의해야 한다.

참고 문헌

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  • William R. Wade (2003). 〈3.6 Topology of Rn〉. 《An Introduction to Analysis》 Thi판. Pearson/Prentice Hall. 
  • William R. Wade (2003). 〈Chapter 10 Metric Spaces〉. 《An Introduction to Analysis》 Thi판. Pearson/Prentice Hall. 

같이 보기

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