폐포 (위상수학)

위상수학에서, 폐포(閉包, 영어: closure)는 주어진 위상 공간부분 집합을 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.[1] 이는 그 부분 집합의 원소와 극한점으로 구성된다.[1] 의 폐포는 또는 와 같이 표기한다. 서로 다른 위상 공간의 부분 집합으로서의 폐포를 구분하기 위해 또는 또는 와 같이 쓸 수도 있다. 위상이 거리 함수 로 유도되었을 경우 또는 와 같이 써도 좋다.

정의편집

위상 공간  의 부분 집합  이 주어졌다고 하자. 점  이 다음 조건을 만족시킨다면,  폐포점(閉包點, 영어: point of closure)이라고 한다.

  •  의 모든 근방  에 대하여,  이다.

만약  국소 기저  가 주어졌을 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 폐포점이다.
  • 모든  에 대하여,  이다.

특히, 폐포점의 정의에서 ‘근방’을 ‘열린 근방’으로 대체할 수 있다.

위상 공간  의 부분 집합  폐포   의 모든 폐포점들의 집합이다.

성질편집

극한점과의 관계편집

위상 공간  의 부분 집합   및 점  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 폐포점이다.
  •  이거나,   극한점이다.

즉,  의 폐포는  와 그 유도 집합의 합집합이다.

 

닫힌집합과의 관계편집

위상 공간  의 부분 집합  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 닫힌집합이다.
  •  
  •  
  •  

반대로,  의 폐포는  를 포함하는 모든 닫힌집합들의 교집합이다. 즉, 이는  를 포함하는 가장 작은 닫힌집합이다.

내부·경계와의 관계편집

위상 공간  의 부분 집합   및 점  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •   의 폐포점이다.
  •   내부점이거나 경계점이다.
  •   의 여집합  내부점이 아니다.

즉,  의 폐포는  의 여집합의 내부의 여집합이며, 또한  내부경계분리 합집합이다.

 
 

반대로,  경계 와 그 여집합의 폐포의 교집합이다.

 

항등식편집

위상 공간  의 부분 집합   및 집합족  에 대하여, 다음 항등식들이 성립한다.

 
 
 
 
 

즉, 폐포는 유한 합집합을 보존하지만, 무한 합집합이나 교집합을 보존하지 않는다.

반례:

표준적인 위상을 갖춘 실수선   위에서 다음과 같은 집합들을 생각하자.

 
 
 

그렇다면,  의 합집합  의 폐포   의 폐포  의 합집합  을 진부분 집합으로 포함한다. 또한,   의 교집합의 폐포는 공집합이며, 이는  의 폐포   의 폐포  의 교집합  의 진부분 집합이다.

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이산 공간편집

이산 공간의 부분 집합의 폐포는 항상 자기 자신이다.

비이산 공간편집

비이산 공간공집합이 아닌 부분 집합의 폐포는 전체 공간이다.

열린 공편집

 에 대하여, (노름 위상을 갖춘)  -노름 공간 위의 열린 공

 

의 폐포는 닫힌 공

 

이다. 일반적인 거리 공간의 경우, 열린 공은 항상 열린집합이며, 닫힌 공은 항상 닫힌집합이지만, 열린 공의 폐포는 그에 대응하는 닫힌 공이 아닐 수 있다. 예를 들어, 이산 거리 공간   위에서,  를 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 열린 공과 닫힌 공은 다음과 같다.

 
 

하지만 열린 공의 폐포는 자기 자신이며, 만약  인 경우 이는 닫힌 공과 일치하지 않는다.

균등 공간편집

(균등 위상을 갖춘) 균등 공간  의 부분 집합  의 폐포는  대칭 측근들에 대한 들의 교집합과 같다.[2]:104, Corollary 8.10

 

증명:

임의의 측근  에 대하여,  는 측근이며,  이다. 따라서, 임의의  에 대하여,

 

 국소 기저를 이룬다. 따라서, 다음이 성립한다.

 

각주편집

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. James, I. M. (1987). 《Topological and Uniform Spaces》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어). New York, NY: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4716-6. ISBN 978-1-4612-9128-2. ISSN 0172-6056. Zbl 0625.54001. 

외부 링크편집