오일러 공식

오일러 공식(Euler's formula)은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 세계에서 가장 아름다운 공식으로도 불린다.

는 복소평면에서 단위원을 뜻한다.

사용되는 경우로는 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수지수함수에 대한 관계를 나타낸다. 오일러의 등식은 이 공식의 특수한 경우이다.

오일러 공식은 다음과 같다. 실수 에 대해, 허수 지수 를 다음과 같이 정의한다.

여기서, e는 자연로그의 밑인 상수이고, 는 제곱하여 이 되는() 허수단위, , 삼각함수의 사인과 코사인 함수이다.

를 대입하여, 이라는 오일러의 등식을 구할 수 있다.

역사편집

오일러 공식은 1714년 로저 코츠가 다음과 같은 형태로 처음 발견하였다.

 

지금과 같은 모양의 오일러 공식은 1748년 오일러가 무한급수의 좌우 극한값이 같음을 증명하면서 발표되었다. 그러나 로저와 오일러 모두 이 공식이 지닌 '복소수복소평면 위의 하나의 점으로 볼 수 있다'는 기하학적 의미를 눈치채지는 못하였고, 이것은 약 50년이 지난 후에나 발견되었다. 오일러는 현재의 교육과정에서 보다 훨씬 이른 시기에 학생들에게 복소수를 가르쳤다. 그의 기초 대수학 교재인 <대수학 원론>(Elements of Algebra)에 보면 교재의 거의 맨 앞부분부터 복소수를 도입하고 있고 교재 전체를 통틀어 자연스럽게 사용하고 있다.[1]

발견적인 증명편집

테일러 급수를 이용한 방법편집

테일러 급수에 따라 실수 범위에서 다음의 식이 성립한다.

 

이때  복소수일 때에 앞의 무한급수를 각각의 함수로 정의한다. 그러면

 

가 된다.

미분 계산을 이용한 증명방법편집

  라면,
 
  (단,  는 상수)

(1)에  을 대입하면,

 
 
 
 

Q.E.D.

미적분을 이용한 방법편집

다음과 같은 복소수  를 생각하자:

 

양변을  에 대해 미분하면:

 

 이므로:

 

양변을 적분하면:

 

(여기에서  는 적분 상수이다.)

이제  이라는 것을 증명한다.  일 경우를 계산해보면

 

따라서

 

따라서 다음과 같은 식이 성립한다:

 

Q.E.D.

미분방정식을 이용한 방법편집

함수   를 다음과 같이 정의한다.

 

허수단위   는 상수이므로  도함수이계도함수는 다음과 같다.

 

이로부터

  또는
  라는 2차 선형 미분방정식이 만들어지고,

일차 독립인 두 해가 발생한다.

 

한편, 차수가 같은 미분방정식의 어떤 선형 결합도 해가 될 수 있으므로 위의 미분방정식의 일반적인 해는 다음과 같다.

 
(  는 상수)

그리고 여기에 함수   의 초기 조건

  을 대입하면,
 


곧,

 

이므로

 이다.

Q.E.D.

박사가 사랑한 수식편집

오일러 공식은 위 소설의 모티브로도 사용이 되었다. 오일러 공식에 숨어 있는 뜻을 cis 함수 또는 복소 지수 함수는 오일러 공식으로부터 바로 유도되는 함수로, 다음과 같이 정의되는 것이다.

 

이 함수는 푸리에 변환이나 페이저 등에서 복소수와 관련된 연산을 할 때 흔히 사용되는 것이다.

쉬운 설명편집

우선 이 공식을 이해하기 위해서는 멱급수가 무엇인지 알고 있어야 한다. 멱급수란 하나의 수의 지수를 증가시키며 모두 더한 값을 말하며, 지수함수의 멱급수는 다음과 같다.

 

이 역급수의 지수   (복소수에 임의의 수  를 곱한 값)을 추가하면,   를 더한 값과 완벽하게 일치했다.

즉,  가 성립하는 것이다.

이 등식에서   를 대입했을 때 나오는 특수한 등식이 바로 오일러의 등식이다.

[2]

같이 보기편집

  1. [참고] (대수학 원론 레온하르트 오일러,번억 Christopher James Sangwin,School of Mathematics,University of Birmingham,United Kingdom,B15 2TT,ISBN 978-1-89961-873-6) https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/
  2. 리처드 엘위스. 《수학 100》.