오차 삼중체
수학에서 오차 삼중체(영어: Quintic threefold)는 4차원 사영 공간 에서 오차 초곡면(즉, 여차원이 1)인 다형체이다. 비특이 오차 삼중체는 칼라비-야우 다양체도 된다.
비특이 오차 삼중체의 호지 다이아몬드는 다음과 같다.
수학자 로베르튀스 데이크흐라프는 "모든 대수 기하학자가 알고 있는 숫자 중 하나는 2,875이다. 왜냐하면 분명히 그것은 오차 삼중체 안의 모든 직선들의 수이기 때문이다"라고 말했다.[1]
정의 편집
오차 삼중체는 안의 차 사영 다형체이고, 칼라비-야우 다양체의 특별한 종류이다. 많은 예제가 안의 초곡면 또는 에 있는 완전 교차 또는 다른 다형체의 특이점을 해결하는 매끄러운 다형체로 구성된다. 집합으로서 칼라비-야우 다양체는 다음과 같다.
P4안의 초곡면 편집
동차 다항식 이 (여기서 는 초평면 선다발의 세르 꼬임이다.) 다음 대수에서 사영 다형체 또는 사영 스킴 을 정의한다.
예 편집
페르마 오차 삼중체 편집
칼라비-야우 다양체를 확인하는 가장 쉬운 예 중 하나는 다항식
호지 추측의 시험장으로써 편집
무한소로 일반화된 호지 추측이라는 어려운 문제가 오차 삼중체에 대한 경우 해결된다.[2] 실제로 이 초곡면의 모든 직선은 명시적으로 찾을 수 있다.
오차 삼중체의 Dwork 족 편집
다양한 맥락에서 연구되는 오차 삼중체의 또 다른 인기 있는 예는 Dwork 족이다. 그러한 족에 대한 유명한 연구 중 하나는 Candelas, De La Ossa, Green 및 Parkes가 거울 대칭을 발견했을 때[3]이다. 이것은 족
여기서 . 예를 들어, 점
다른 예 편집
오차 삼중체 안의 곡선 편집
차 유리 곡선들의 수는 슈베르트 미적분을 사용하여 명시적으로 계산할 수 있다. 를 랭크 벡터 공간의 -평면의 그라스마니안 의 랭크 벡터 다발이라 하자. 를 로 사영하면 안의 1차 사영 그라스마니안 직선이다. 그리고 는 이 사영 그라스마니안의 벡터 다발로 내려간다. 이의 총 천 특성류는 저우 환 안에서 다음과 같다.
유리 곡선 편집
헤르베르트 클레멘스는 주어진 일반 오차 삼중체 안의 주어진 차수의 모든 유리 곡선들의 수는 유한하다고 추측하였다. (어떤 매끄럽지만 일반이 아닌(non-generic) 오차 삼중체는 무한한 직선 족을 내포하고 있다.) 셸던 카츠가 7차까지 이 추측이 성립함을 보였다. 그는 또한 모든 2차 유리 곡선의 수 609250를 계산 하였다. Philip Candelas, Xenia de la Ossa 등은 임의의 차수에 대한 유리 곡선들의 가상 수에 대한 일반적 공식을 추측하였고 Givental이 증명하였다. (가상 수가 실제 수와 같다는 것은 클레멘스의 추측의 증명에 달렸다. 현재까지 11차 유리 곡선까지 증명되었다. Cotterill (2012) ). 일반 오차 삼중체 안의 차수별 유리 곡선들의 수는 다음 수열로 주어진다.
일반 오차 삼중체는 칼라비-야우 삼중체이고 주어진 차수의 유리 곡선의 모듈라이 공간은 이산적이고 유한 집합(따라서 콤팩트)이므로 잘 정의된 도날드슨-토마스 불변량 ("가상 점 수")을 갖는다. 적어도 1차와 2차의 경우 이는 실제 점 수와 일치한다.
같이 보기 편집
- 거울 대칭 가설
- 거울대칭(끈이론)
- 그로모프-위튼 불변량
- 야코비 이데알 - 호지 분해에 대한 명확한 기초를 제공한다.
- 변형 이론
- 호지 구조
- 슈베르트 미적분학 - 오차 삼중체의 직선들 수를 결정하는 방법
참고 문헌 편집
- ↑ Robbert Dijkgraaf (2015년 3월 29일). “The Unreasonable Effectiveness of Quantum Physics in Modern Mathematics”. 《youtube.com》. Trev M. 2023년 9월 8일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 9월 10일에 확인함. see 29 minutes 57 seconds
- ↑ Albano, Alberto; Katz, Sheldon (1991). “Lines on the Fermat quintic threefold and the infinitesimal generalized Hodge conjecture”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 (영어) 324 (1): 353–368. doi:10.1090/S0002-9947-1991-1024767-6. ISSN 0002-9947.
- ↑ Candelas, Philip; De La Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991년 7월 29일). “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 359 (1): 21–74. Bibcode:1991NuPhB.359...21C. doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6. ISSN 0550-3213.
- ↑ Gross, Mark; Huybrechts, Daniel; Joyce, Dominic (2003). Ellingsrud, Geir; Olson; Ranestad; Stromme, 편집. 《Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries: Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, June 2001》. Universitext (영어). Berlin Heidelberg: Springer-Verlag. 123–125쪽. ISBN 978-3-540-44059-8.
- ↑ Katz, Sheldon. 《Enumerative Geometry and String Theory》. 108쪽.
- Arapura, Donu, 《"Computing Some Hodge Numbers"》 (PDF)
- Candelas, Philip; de la Ossa, Xenia C.; Green, Paul S.; Parkes, Linda (1991), “A pair of Calabi-Yau manifolds as an exactly soluble superconformal theory”, 《Nuclear Physics B》 359 (1): 21–74, Bibcode:1991NuPhB.359...21C, doi:10.1016/0550-3213(91)90292-6, MR 1115626
- Clemens, Herbert (1984), 〈Some results about Abel-Jacobi mappings〉, 《Topics in transcendental algebraic geometry (Princeton, N.J., 1981/1982)》, Ann. of Math. Stud. 106, Princeton University Press, 289–304쪽, MR 756858
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- Givental, Alexander B. (1996), “Equivariant Gromov-Witten invariants”, 《International Mathematics Research Notices》 1996 (13): 613–663, doi:10.1155/S1073792896000414, MR 1408320
- Katz, Sheldon (1986), “On the finiteness of rational curves on quintic threefolds”, 《Compositio Mathematica》 60 (2): 151–162, MR 868135
- Pandharipande, Rahul (1998), “Rational curves on hypersurfaces (after A. Givental)”, 《Astérisque》, 1997/98 (252): 307–340, arXiv:math/9806133, Bibcode:1998math......6133P, MR 1685628