매끄러운 사상

대수기하학에서 매끄러운 스킴(영어: smooth scheme)은 국소적으로 아핀 공간과 같이 보이는 체 위의 스킴이며, 매끄러운 사상(-寫像, 영어: smooth morphism)은 각 올이 매끄러운 스킴을 이루는 스킴 사상이다.

비분기 사상(非分岐寫像, 영어: unramified morphism)은 분기화가 일어나지 않는 스킴 사상이며, 미분기하학의 몰입에 해당한다. (대수기하학의 열린 몰입과 닫힌 몰입은 이름과 달리 미분기하학의 매장에 해당한다.) 에탈 사상(étale寫像, 영어: étale morphism)은 스킴 사이의 국소 동형 사상이다. 즉, 미분기하학의 국소 미분동형사상이나, 위상수학의 국소 위상동형사상에 대응되는 개념이다.

정의

형식적으로 매끄러운 사상/형식적으로 비분기 사상/형식적으로 에탈 사상은 특정 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 스킴 사상이다. 형식적으로 매끄러운/비분기/에탈 사상 조건에 국소 유한 표시 조건을 추가한다면 매끄러운 사상/비분기 사상/에탈 사상 개념을 얻는다.

형식적으로 매끄러운 · 비분기 · 에탈 사상

임의의 가환환 $R$ 및 멱영 아이디얼 ${\mathfrak {n}}\subseteq R$에 대하여, 그 몫 준동형

$(/{\mathfrak {n}})\colon R\to R/{\mathfrak {n}}$

에 대응하는 아핀 스킴 사상

$(/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})\to \operatorname {Spec} R$

을 생각할 수 있으며, 이는 항상 닫힌 몰입이다. 직관적으로, ${\mathfrak {n}}$이 멱영 아이디얼이므로 $\operatorname {Spec} R$는 $\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})$을 "무한소"만큼 "연장"시킨 것이다. 즉, 이러한 닫힌 몰입은 닫힌집합의 "무한히 작은 근방"으로의 포함 사상으로 해석할 수 있다.

스킴 사상 $f\colon X\to S$에 대하여,

• 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 올림 성질이 성립한다면, $f$를 형식적으로 매끄러운 사상(영어: formally smooth morphism, 프랑스어: morphisme formellement lisse)이라고 한다.^{:56, Définition IV.17.1.1} 즉, $(/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} R,X)\to \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}}),X)$가 전사 함수이다.
• 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 모든 오른쪽 올림이 (만약 존재한다면) 유일하다면, $f$를 형식적으로 비분기 사상(영어: formally unramified morphism, 프랑스어: morphisme formellement non ramifié)이라고 한다.^{:56, Définition IV.17.1.1} 즉, $(/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} R,X)\to \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}}),X)$가 단사 함수이다.
• 만약 멱영 아이디얼로부터 유도되는 닫힌 몰입에 대하여 오른쪽 유일 올림 성질이 성립한다면, $f$를 형식적으로 에탈 사상(영어: formally étale morphism, 프랑스어: morphisme formellement étale)이라고 한다.^{:56, Définition IV.17.1.1} 즉, $(/{\mathfrak {n}})^{*}\colon \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} R,X)\to \hom _{\operatorname {Sch} /S}(\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}}),X)$가 전단사 함수이다.

  ${\begin{matrix}\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})&\to &X\\\downarrow &{\scriptstyle \exists }\nearrow &\downarrow \\\operatorname {Spec} R&\to &S\end{matrix}}$

이 조건들은 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다.

• 형식적으로 매끄럽다는 것은 사상 $\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})\to X$를 그 무한소 근방 $\operatorname {Spec} R$로 무한소만큼 확장할 때, "특이점"에 걸려 확장이 불가능한 경우가 없다는 것이다.
• 형식적으로 비분기라는 것은 사상 $\operatorname {Spec} (R/{\mathfrak {n}})\to X$를 그 무한소 근방 $\operatorname {Spec} R$로 무한소만큼 확장할 때, "분기점" 때문에 두 개 이상의 가능한 확장이 존재하는 경우가 없다는 것이다.
• 형식적으로 에탈이라는 것은 형식적으로 매끄러우며 비분기인 것과 같으므로, "특이점"과 "분기점"이 없어 그 무한소 근방으로의 확장이 항상 유일한 것이다.

매끄러운 사상

국소 유한 표시 사상 $f\colon X\to S$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 매끄러운 사상(영어: smooth morphism, 프랑스어: morphisme lisse)이라고 한다.

• $f$는 형식적으로 매끄러운 사상이다.^{:61, Définition IV.17.3.1}
• $f$는 평탄 사상이며, 모든 $x\in X$ 및 $s=f(x)$에 대하여 올 $f^{-1}(f(x))$은 국소환의 잉여류체 $\kappa (s)={\mathcal {O}}_{S,s}/{\mathfrak {m}}({\mathcal {O}}_{S,s})$ 위의 매끄러운 스킴이다.^{:67, Théorème IV.17.5.1}
• $f$는 평탄 사상이며, 모든 $x\in X$ 및 $s=f(x)$에 대하여 올 $f^{-1}(s)\to \kappa (s)$에 대하여 그 완비화 $f^{-1}(s)\times _{\kappa (s)}{\bar {\kappa }}(s)$는 정칙 스킴이다.^{:269–270, Theorem III.10.2}
• $f$는 평탄 사상이며, 켈러 미분층 $\Omega _{X/S}$는 국소 자유 가군층이며, 그 차원은 $f\colon X\to S$의 상대 차원과 같다.
• 모든 $x\in X$에 대하여, $f|_{U}={\tilde {f}}\circ c$가 되는 열린 근방 $U\ni x$ 및 자연수 $n$ 및 사상 ${\tilde {f}}\colon U\to \mathbb {A} _{S}^{n}$가 존재한다. ($c\colon \mathbb {A} _{S}^{n}\to S$는 아핀 공간의 표준적 사상이다.)
• 임의의 $x\in X$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X$ 및 $f(\operatorname {Spec} R)\subseteq \operatorname {Spec} S\subseteq Y$가 존재한다.
  • 가환환 준동형 $S\to R$은 어떤 표준 매끄러운 대수와 동형이다.

가환환 $S$가 주어졌을 때, 그 위의 유한 표시 대수

${\frac {S[x_{1},\dots ,x_{n}]}{(f_{1},\dots ,f_{k})}}\qquad (n,k\in \mathbb {N} ,\;k\leq n,\;f_{1},\dots ,f_{k}\in R[x_{1},\dots ,x_{n}])$

가 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 표준 매끄러운 대수(영어: standard smooth algebra)라고 한다.

다항식 $\det(\partial f_{i}/\partial x_{j})_{i,j=1,\dots ,k}\in S[x_{1},\dots ,x_{n}]$은 $S[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{k})$ 속의 가역원이다.

비분기 사상

국소 유한 표시 사상 $f\colon X\to S$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 비분기 사상(영어: ramified morphism, 프랑스어: morphisme non ramifié)이라고 한다.^{:65, Corollaire IV.17.4.2(c)}

• $f$는 형식적으로 비분기 사상이다.^{:62, Définition IV.17.3.7}
• $\Omega _{X/S}={\underline {0}}$이다. 여기서 $\Omega _{X/S}$는 켈러 미분층이며, ${\underline {0}}$은 영가군의 상수층이다.
• 대각 사상 $\Delta _{f}\colon X\to X\times _{S}X$은 열린 몰입이다.

스킴 사상 $f\colon X\to S$가 $x\in X$에서 비분기이다는 것은 $x$의 어떤 열린 근방 $U\ni x$에 대하여 $f|_{U}$가 비분기 사상이라는 것이다.

에탈 사상

국소 유한 표시 사상 $f\colon X\to S$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 국소 유한 표시 사상을 에탈 사상(영어: étale morphism, 프랑스어: morphisme étale)이라고 한다.

• $f$는 형식적으로 에탈 사상이다.^{:62, Définition IV.17.3.7}
• $f$는 평탄 사상이며 비분기 사상이다.
• $f$는 매끄러운 사상이며 비분기 사상이다.
• $f$는 매끄러운 사상이며 상대 차원(영어: relative dimension)이 0이다.
• 모든 점 $x\in X$에서, 다음 조건을 만족시키는 아핀 열린 근방 $x\in \operatorname {Spec} R\subseteq X$ 및 $f(\operatorname {Spec} R)\subseteq \operatorname {Spec} S\subseteq Y$ 및 가 존재한다.
  • 준동형 $S\to R$는 어떤 표준 에탈 대수와 동형이다.

위 정의에서, 가환환 $S$ 위의 표준 에탈 대수(영어: standard étale algebra)는 다음과 같은 꼴의 단위 결합 가환 대수이다.

$\left(S[x]/(f)\right)_{g}$

여기서

• $f\in S[x]$는 일계수 다항식이며, $g\in S[x]$는 임의의 다항식이다.
• $f$의 도함수 $\mathrm {d} f/\mathrm {d} x$는 $(S[x]/(f))_{g}$에서 가역원이다. 여기서 $(\cdots )_{g}$는 국소화이고, $(f)$는 $f$로 생성되는 아이디얼이다.

스킴 사상 $f\colon X\to S$가 $x\in X$에서 에탈이다는 것은 $x$의 어떤 열린 근방 $U\ni x$에 대하여 $f|_{U}$가 에탈 사상이라는 것이다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

국소 유한 표시 사상	⊃	국소 유한 표시 평탄 사상	⊃	매끄러운 사상
∪				∪
비분기 사상	⊃			에탈 사상
∪				∪
국소 유한 표시 닫힌 몰입	⊃	스킴 동형	⊂	열린 몰입

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

즉, 임의의 체 $K$에 대하여 모든 매끄러운 $K$-스킴은 정칙 스킴이다. 특히, 완전체 $K$ 위의 $K$-스킴 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $X\to \operatorname {Spec} K$는 매끄러운 사상이다.
• 정칙 스킴이며, $X\to \operatorname {Spec} K$는 국소 유한형 사상이다.

닫힘

${\mathfrak {P}}$가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 · 형식적으로 매끄러운 사상 · 형식적으로 비분기 사상 · 형식적으로 에탈 사상 조건 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• (합성에 대한 닫힘) $X{\xrightarrow {f}}Y{\xrightarrow {g}}Z$에 대하여, 만약 $f$와 $g$가 ${\mathfrak {P}}$-사상이라면 $g\circ f$ 역시 ${\mathfrak {P}}$-사상이다.
• (밑 변환에 대하여 안정) $X{\xrightarrow {f}}Y\leftarrow Y'$ 에 대하여, 만약 $f$가 ${\mathfrak {P}}$-사상이라면 밑 변환 $f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'$ 역시 ${\mathfrak {P}}$-사상이다.

${\mathfrak {P}}$가 매끄러운 사상 · 비분기 사상 · 에탈 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• (fpqc 위상에서의 내림) $X{\xrightarrow {f}}Y{\xleftarrow {g}}Y'$에 대하여, 만약 밑 변환 $f'\colon X\times _{Y}Y'\to Y'$가 ${\mathfrak {P}}$-사상이며, $g$가 fpqc 사상이라면 $f$ 역시 ${\mathfrak {P}}$-사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예

매끄러움의 실패

대수적으로 닫힌 체 $K$가 주어졌을 때, $K[a]$-대수의 포함 준동형

$f\colon K[a]\hookrightarrow K[x,y,a]/(xy-a)$

을 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상

$\operatorname {Spec} K[x,y,a]/(xy-a)\twoheadrightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}$

을 정의하며, 이는 기하학적으로 아핀 평면 원뿔 곡선들의 족을 정의한다. 이는 유한형 사상이며 평탄 사상이지만, 매끄러운 사상이 아니다. 구체적으로, $K[a]$-대수 $K[z,a]/(a^{2})$의 멱영 아이디얼 $(a)\subset K[z,a]/(a^{2})$를 생각하자. 이 경우,

$g\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^{2},a)\cong K[z]$

$g\colon x\mapsto z$

$g\colon y\mapsto 0$

는 $K[a]$-대수의 준동형을 이룬다. 하지만, 임의의 $K[a]$-대수의 준동형

$h\colon K[x,y,a]/(xy-a)\to K[z,a]/(a^{2})$

에 대하여,

$q\colon K[z,a]/(a^{2})\twoheadrightarrow K[z]/(a)$

와 합성하였을 때 $q\circ h=g$가 될 수 없다. 기하학적으로, 이는 $a=0$일 때의 올 $xy=0$은 특이올을 이루기 때문이다.

더 단순한 예로, $K\hookrightarrow K[x,y]/(xy)$를 생각하자. 이 경우, $K$-대수의 준동형

$g\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^{2})$

$g\colon x\mapsto z$

$g\colon y\mapsto z$

이 존재한다. 그러나 몫 준동형

$q\colon K[z]/(z^{3})\twoheadrightarrow K[x]/(z^{2})$

에 대하여, $g=q\circ h$가 되는 준동형

$h\colon K[x,y]/(xy)\to K[z]/(z^{3})$

은 존재할 수 없다. 따라서 아핀 대수 곡선 $\operatorname {Spec} K[x,y]/(xy)$는 원점에서 특이점을 가져 매끄러운 곡선이 아니다.

비분기성의 실패

표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체 $K$ 위에,

$f\colon K[x]\hookrightarrow K[x,y]/(y^{2}-x)\cong K[y]$

를 생각하자. 그렇다면 이는 아핀 스킴의 사상

$\mathbb {A} _{K}^{1}\twoheadrightarrow \mathbb {A} _{K}^{1}$

을 정의한다. 이는 유한형 사상이지만, 비분기 사상이 아니다. 구체적으로, $K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x)$의 멱영 아이디얼 $(z)\subset K[x]/(x^{2},z^{2}-x)$을 생각하자. 그렇다면, $K[x]$-대수의 준동형

$g_{\pm }\colon K[x,y]/(x^{2},y^{2}-x)\to K[x]/(x^{2},z^{2}-x)$

$g_{\pm }\colon y\mapsto \pm z$

을 정의할 수 있다. 이는 몫

$q\colon K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x)\twoheadrightarrow K[x,z]/(x^{2},z^{2}-x,z)\cong K$

과 합성하면

$q\circ g_{\pm }\colon K[x,y]/(x^{2},y^{2}-x)\to K$

$q\circ g_{\pm }\colon x,y\mapsto 0$

이 되므로, 서로 같아진다. 즉, 기하학적으로, 원점 $\operatorname {Spec} K\to \mathbb {A} _{K}^{1}$을 그 무한소 근방 $\operatorname {Spec} K[x]/(x^{2},z^{2}-x)$으로 연장하는 방법이 유일하지 않으므로, 비분기 사상이 될 수 없다.

체 위의 에탈 스킴

체 $K$ 위의 스킴 $X\to \operatorname {Spec} K$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $X\to \operatorname {Spec} K$는 비분기 사상이다.
• $X\to \operatorname {Spec} K$는 에탈 사상이다.
• $X\cong \bigsqcup _{i\in I}\operatorname {Spec} K_{i}$이며, $K_{i}/K$는 유한 분해 가능 확대이다.

체 $K$ 위의 에탈 스킴들의 범주는 절대 갈루아 군 $\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)$의 작용을 갖춘 집합들의 범주 $\operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K){\text{-Set}}$와 동치이다. 구체적으로, 에탈 스킴 $X$에 대응하는 집합은 다음과 같다.

$X\mapsto \hom _{\operatorname {Sch} /\operatorname {Spec} K}(\operatorname {Spec} K^{\operatorname {sep} },X)$

여기서 $K^{\operatorname {sep} }$은 $K$의 분해 가능 폐포이다.

역사

알렉산더 그로텐디크가 《대수기하학 원론》 4권에서 도입하였다.

외부 링크

• “Smooth scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Etale morphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Smooth morphism of schemes”. 《nLab》 (영어). 
• “Smooth scheme”. 《nLab》 (영어). 
• “Etale morphism of schemes”. 《nLab》 (영어). 
• “Formally smooth morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Formally smooth scheme”. 《nLab》 (영어). 
• “Formally unramified morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Formally etale morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Etale scheme”. 《nLab》 (영어). 
• “What are unramified morphisms like?” (영어). 
• Youcis, Alex (2014년 4월 6일). “Unramified morphisms”. 《Hard arithmetic》 (영어). 

같이 보기

• 에탈 코호몰로지
• 특이점 (대수기하학)
• 자리스키 접공간
• 분기화
• 정칙 스킴