대수적 위상수학 에서, 올적분 (-積分, 영어 : fiber integration , integration along fibers )은 미분 형식 및 드람 코호몰로지 에 대하여 정의되는, 올다발 의 전체 공간 위의 미분 형식 또는 코호몰로지류 를 그 밑공간 위의 미분 형식 또는 코호몰로지류에 대응시키는 사상이다.
다음이 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
B
{\displaystyle B}
매끄러운 올다발
π
:
E
↠
B
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow B}
m
{\displaystyle m}
콤팩트 유향 다양체 라고 하자.미분 형식
α
∈
Ω
k
+
m
(
E
)
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{k+m}(E)}
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
β
v
1
,
…
,
v
k
∈
Ω
m
(
π
−
1
(
π
(
e
)
)
)
∀
e
∈
E
,
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
e
E
{\displaystyle \beta _{v_{1},\dotsc ,v_{k}}\in \Omega ^{m}(\pi ^{-1}(\pi (e)))\qquad \forall e\in E,\;v_{1},\dotsc ,v_{k}\in \mathrm {T} _{e}E}
β
v
1
,
…
,
v
k
(
w
1
,
…
,
w
m
)
=
α
(
w
1
,
…
,
w
m
,
v
1
,
…
,
v
k
)
{\displaystyle \beta _{v_{1},\dotsc ,v_{k}}(w_{1},\dotsc ,w_{m})=\alpha (w_{1},\dotsc ,w_{m},v_{1},\dotsc ,v_{k})}
π
!
α
∈
Ω
k
(
B
)
{\displaystyle \pi _{!}\alpha \in \Omega ^{k}(B)}
(
π
!
α
)
(
v
1
,
v
2
,
…
,
v
k
)
=
∫
π
−
1
(
b
)
β
v
1
,
…
,
v
k
∀
e
∈
E
,
v
1
,
…
,
v
k
∈
T
e
E
{\displaystyle (\pi _{!}\alpha )(v_{1},v_{2},\dotsc ,v_{k})=\int _{\pi ^{-1}(b)}\beta _{v_{1},\dotsc ,v_{k}}\qquad \forall e\in E,\;v_{1},\dotsc ,v_{k}\in \mathrm {T} _{e}E}
스토크스 정리 에 따라서, 올이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체 이므로, 이는 드람 코호몰로지 의 사상
π
!
:
H
∙
+
m
(
E
;
R
)
→
H
∙
(
B
;
R
)
{\displaystyle \pi _{!}\colon \operatorname {H} ^{\bullet +m}(E;\mathbb {R} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(B;\mathbb {R} )}
을 정의한다. 이를 미분 형식 또는 드람 코호몰로지류 의 올적분 이라고 한다.
함수 공간
E
=
C
∞
(
X
,
Y
)
{\displaystyle E={\mathcal {C}}^{\infty }(X,Y)}
을 생각하고,
dim
X
=
n
{\displaystyle \dim X=n}
X
{\displaystyle X}
콤팩트 공간 이라고 하자. 그렇다면, 자연스러운 함수
ev
:
E
×
X
→
Y
{\displaystyle \operatorname {ev} \colon E\times X\to Y}
가 존재한다. 이 경우,
Y
{\displaystyle Y}
k
{\displaystyle k}
α
=
α
i
1
…
i
k
d
y
i
1
∧
…
∧
d
y
i
k
{\displaystyle \alpha =\alpha _{i_{1}\dotso i_{k}}\mathrm {d} y^{i_{1}}\wedge \dotso \wedge \mathrm {d} y^{i_{k}}}
가 주어졌다면,
ev
∗
α
|
f
,
x
=
α
i
1
…
i
k
(
f
(
x
)
)
(
d
f
(
x
)
i
1
+
∂
μ
1
ϕ
i
1
d
x
μ
1
)
∧
(
d
f
(
x
)
i
k
+
∂
μ
k
ϕ
i
k
d
x
μ
k
)
∈
Ω
k
(
E
×
X
)
{\displaystyle \operatorname {ev} ^{*}\alpha |_{f,x}=\alpha _{i_{1}\dotso i_{k}}(f(x))(\mathrm {d} f(x)^{i_{1}}+\partial _{\mu _{1}}\phi ^{i_{1}}\mathrm {d} x^{\mu _{1}})\wedge (\mathrm {d} f(x)^{i_{k}}+\partial _{\mu _{k}}\phi ^{i_{k}}\mathrm {d} x^{\mu _{k}})\in \Omega ^{k}(E\times X)}
를 정의할 수 있다. 올적분을 취하여,
E
{\displaystyle E}
k
−
n
{\displaystyle k-n}
∫
X
α
i
1
…
i
k
(
f
(
x
)
)
∂
μ
1
ϕ
i
1
d
x
μ
1
∧
⋯
∧
∂
μ
n
ϕ
i
n
d
x
μ
n
∧
d
f
(
x
)
i
1
+
n
∧
⋯
∧
d
f
(
x
)
i
k
∈
Ω
k
−
dim
X
(
E
)
{\displaystyle \int _{X}\alpha _{i_{1}\dotso i_{k}}(f(x))\partial _{\mu _{1}}\phi ^{i_{1}}\mathrm {d} x^{\mu _{1}}\wedge \dotsb \wedge \partial _{\mu _{n}}\phi ^{i_{n}}\mathrm {d} x^{\mu _{n}}\wedge \mathrm {d} f(x)^{i_{1+n}}\wedge \dotsb \wedge \mathrm {d} f(x)^{i_{k}}\in \Omega ^{k-\dim X}(E)}
