다음이 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 선형 다발
E
↠
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
그렇다면,
M
{\displaystyle M}
위의
E
{\displaystyle E}
값의 미분 형식
Ω
∙
(
M
;
E
)
=
Γ
(
E
⊗
⋀
T
∗
M
)
{\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M;E)=\Gamma \left(E\otimes \bigwedge \mathrm {T} ^{*}M\right)}
을 정의할 수 있다.
E
{\displaystyle E}
위의 선형 다발 접속
∇
:
Γ
(
E
)
→
Γ
(
E
⊗
T
∗
M
)
{\displaystyle \nabla \colon \Gamma (E)\to \Gamma (E\otimes \mathrm {T} ^{*}M)}
을 고르면, 이로부터
E
{\displaystyle E}
값의 미분 형식 의 외미분
d
∇
:
Ω
∙
(
M
;
E
)
→
Ω
∙
+
1
(
M
;
E
)
{\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }\colon \Omega ^{\bullet }(M;E)\to \Omega ^{\bullet +1}(M;E)}
을 정의할 수 있다. 그렇다면,
d
∇
∘
d
∇
{\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }\circ \mathrm {d} _{\nabla }}
는
∇
{\displaystyle \nabla }
의 곡률 에 비례하며, 만약
∇
{\displaystyle \nabla }
가 평탄 선형 다발 접속 이라면
d
∇
∘
d
∇
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} _{\nabla }\circ \mathrm {d} _{\nabla }=0}
이다. 즉, 이 경우 공사슬 복합체
0
→
Ω
0
(
M
;
E
)
→
d
∇
Ω
1
(
M
;
E
)
→
d
∇
⋯
→
d
∇
Ω
dim
M
(
M
;
E
)
→
0
{\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M;E)\,{\overset {\mathrm {d} _{\nabla }}{\to }}\,\Omega ^{1}(M;E)\,{\overset {\mathrm {d} _{\nabla }}{\to }}\,\dotsb \,{\overset {\mathrm {d} _{\nabla }}{\to }}\,\Omega ^{\dim M}(M;E)\to 0}
가 존재한다. 이를 드람 공사슬 복합체 (de Rham共사슬複合體, 영어 : de Rham cochain complex )라고 하며, 그 코호몰로지
H
dR
i
(
M
;
E
)
=
ker
(
d
∇
↾
Ω
i
(
M
;
E
)
)
im
(
d
∇
↾
Ω
i
−
1
(
M
;
E
)
)
(
i
∈
N
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{i}(M;E)={\frac {\ker(\mathrm {d} _{\nabla }\upharpoonright \Omega ^{i}(M;E))}{\operatorname {im} (\mathrm {d} _{\nabla }\upharpoonright \Omega ^{i-1}(M;E))}}\qquad (i\in \mathbb {N} )}
를
E
{\displaystyle E}
계수의 드람 코호몰로지 (영어 : de Rham cohomology with coefficients in
E
{\displaystyle E}
)라고 한다.
특히,
E
=
M
×
R
{\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }
가 자명한 선형 다발 접속 을 갖춘 자명한 선형 다발 인 경우,
E
{\displaystyle E}
값의 미분 형식 은 단순한 미분 형식 이다. 만약 계수
E
{\displaystyle E}
가 명시되지 않았다면, 이 자명한 경우를 뜻한다.
다른 형식의 외미분인 미분 형식을 완전 미분 형식 (完全微分形式, 영어 : exact differential form )이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 닫힌 미분 형식 (닫힌微分形式, 영어 : closed differential form )이라고 부른다. 따라서 드람 코호몰로지
H
dR
k
(
M
;
E
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(M;E)}
는
E
{\displaystyle E}
값의
k
{\displaystyle k}
차 닫힌 미분 형식의 공간에서
E
{\displaystyle E}
값의
k
{\displaystyle k}
차 완전 미분 형식을 더하는 것에 대한 동치류 를 취한 상공간 이다.
다른 코호몰로지 이론과의 비교
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매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
안의 k -특이 사슬
C
{\displaystyle C}
위에 k -형식
ω
{\displaystyle \omega }
를 적분할 수 있다. 즉
∫
C
ω
{\displaystyle \textstyle \int _{C}\omega }
가 정의 가능하다.
이는 스토크스 정리 에 따라 드람 코호몰로지
H
dR
k
(
M
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(M)}
에서 실수 계수 특이 코호몰로지
H
k
(
M
;
R
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{k}(M;\mathbb {R} )}
으로 가는 사슬 사상 을 정의할 수 있다. 드람 정리 에 따라 이는 사실 사슬 동형사상 이다. 이는 조르주 드 람 이 1931년에 증명하였다.
콤팩트 리만 다양체 위에는 호지 이론 에 따라 조화 형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 호지 정리 (Hodge theorem )에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다.
또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) 체흐 코호몰로지 나 알렉산더-스패니어 코호몰로지 (Alexander–Spanier cohomology )와 동형이다.
복소다양체 의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 돌보 코호몰로지 를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. 켈러 다양체 의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다.
연산과의 호환
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임의의 두 매끄러운 벡터 다발
E
,
E
′
↠
M
{\displaystyle E,E'\twoheadrightarrow M}
이 주어졌을 때, 다음이 성립하며, 이 동형 사상은 표준적이다.
H
dR
∙
(
M
;
E
⊕
E
′
)
≅
H
dR
∙
(
M
;
E
)
⊕
H
dR
∙
(
M
;
E
′
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E\oplus E')\cong \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E)\oplus \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E')}
즉, 자명한 벡터 다발과의 텐서곱에 대하여 다음이 성립한다.
H
dR
∙
(
M
;
E
⊗
R
n
)
≅
H
dR
∙
(
M
;
E
)
⊗
R
n
{\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E\otimes \mathbb {R} ^{n})\cong \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;E)\otimes \mathbb {R} ^{n}}
특히, 0차원 벡터 다발 계수의 드람 코호몰로지는 자명군 이다.
H
dR
∙
(
M
;
0
)
≅
0
{\displaystyle \operatorname {H} _{\operatorname {dR} }^{\bullet }(M;0)\cong 0}
항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 마이어-피토리스 열 등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 호모토피 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.
n
{\displaystyle n}
차원 초구 의 코호몰로지 군은
H
d
R
k
(
S
n
)
≃
{
R
if
k
=
0
,
n
0
if
k
≠
0
,
n
{\displaystyle \operatorname {H} _{dR}^{k}(\mathbb {S} ^{n})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n\end{cases}}}
이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은
I
{\displaystyle \mathbb {I} }
가 임의의 선분일 때에,
H
dR
k
(
S
n
×
I
m
)
≃
{
R
if
k
=
0
,
n
0
if
k
≠
0
,
n
{\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(\mathbb {S} ^{n}\times \mathbb {I} ^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n\end{cases}}}
도 성립한다.
n
{\displaystyle n}
차원 원환면 의 드람 코호몰로지는 다음과 같다.
H
dR
k
(
T
n
)
≃
R
(
n
k
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(\mathbb {T} ^{n})\simeq \mathbb {R} ^{\binom {n}{k}}}
구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간
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구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은
R
n
∖
{
0
}
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}}
를 말한다. 이때에,
H
d
R
k
(
R
n
−
{
0
}
)
{\displaystyle H_{dR}^{k}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}
≃
{
R
if
k
=
0
,
n
−
1
0
if
k
≠
0
,
n
−
1
{\displaystyle \simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &{\mbox{if }}k=0,n-1\\0&{\mbox{if }}k\neq 0,n-1\end{cases}}}
≃
H
d
R
k
(
S
n
−
1
)
{\displaystyle \simeq H_{dR}^{k}(S^{n-1})}
뫼비우스의 띠
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뫼비우스의 띠
M
{\displaystyle M}
는 원과 호모토피 동치 이므로 그 드람 코호몰로지는 다음과 같다.
H
dR
k
(
M
)
≃
H
d
R
k
(
S
1
)
{\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{k}(M)\simeq H_{dR}^{k}(S^{1})}
0차 성분
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간단한 예로, 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
이
n
{\displaystyle n}
개의 연결 성분 을 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다.
H
dR
0
(
M
)
=
R
n
{\displaystyle \operatorname {H} _{\text{dR}}^{0}(M)=\mathbb {R} ^{n}}
즉, 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
위에서 정의된 매끄러운 함수 의 기울기 가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다.
참고 문헌
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외부 링크
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