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스토크스의 정리

(스토크스 정리에서 넘어옴)

미분기하학에서 스토크스의 정리(영어: Stokes’ theorem)는 매끄러운 다양체 위의 미분 형식의 적분에 관한 정리다. 이에 따라, 미분 형식의 외미분을 다양체에 적분한 값은, 그 미분 형식을 다양체의 경계에 대하여 적분한 값과 같다. 벡터 미적분학의 몇몇 정리를 일반화한 것이다.

도입편집

미적분학의 기본정리구간  위의 함수  의 적분은  부정적분 를 찾는 것으로 계산할 수 있다는 정리이다.

 

스토크스의 정리는 다음과 같은 관점에서 이 정리를 일반화한다.

  •   가 결정되는 것에서, 미분 형식의 관점에서 보면  는 0-형식(0-form)의 외미분(exterior derivative)이 된다. 즉, 함수  에 대해  이다. 일반화된 스토크스 정리는  대신 더 높은 미분 형식에서도 적용 가능하다.
  • 폐구간  는 경계를 갖는 일차원 매끄러운 다양체(one-dimensional manifold with boundary)의 간단한 예이다. 경계는 두 점  로 이루어진 집합이 된다. 구간위의 함수  를 적분하는 것은 고차원 다양체 위에서 미분 형식을 적분하는 것으로 일반화할 수 있다. 두 가지 기술적인 조건이 필요한데, 다양체는 방향을 가져야 하고, 적분이 잘 정의되기 위해 미분 형식콤팩트 지지이여야 한다.
  • 두 점  는 구간  의 경계가 된다. 더 일반적으로, 스토크스의 정리는 경계를 갖는 유향 다양체  에 적용된다.  의 경계인  은 그 자체로 다양체가 되고,  이 방향성을 가짐에 따라 자연스럽게 유향 다양체를 이룬다. 예를 들어 주어진 구간의 방향은 두 경계점의 방향을 준다. 직관적으로, 점  는 점   방향으로 방향을 가진다고 볼 수 있다.

그러므로 기본정리는 다음과 같이 해석된다.

 

정의편집

 
2차원 다양체에서의 적분 (그림에서는   대신  로 표기됨)

 가 경계를 가진 n차원 유향 매끄러운 다양체라고 하고,    위에 정의된 (n−1)차 미분 형식이라고 하자. 또한,  콤팩트 지지라고 하자.   의 경계라고 하면, 다음 등식이 성립한다. 이 등식을 스토크스의 정리라고 한다.

 

여기서  미분 형식외미분이다.

특수한 경우편집

켈빈-스토크스 정리편집

스토크스 정리의 고전적인 형태로서 켈빈-스토크스 정리(영어: Kelvin–Stokes theorem)라고도 한다. 3차원 공간상의 폐곡선에서 수행되는 선적분은 스토크스의 정리에 의해 주어진 폐곡선이 둘러싼 임의의 곡면  에서의 면적분으로 변환될 수 있다. 역도 가능하다.

 

그린 정리편집

그린 정리도 2차원 다양체의 관점에서 마찬가지로 스토크스 정리의 특수한 형태라고 볼 수 있다. 스토크스 정리에서 즉시 유도된다.

발산 정리편집

발산 정리도 유클리드 공간에서 부피 형식(volume form)에 대한 스토크스 정리의 특수한 형태가 된다.

같이 보기편집

외부 링크편집