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완비 불 대수

정의편집

순서론적 정의편집

완비 불 대수완비 격자불 대수이다. 두 완비 불 대수 사이의 완비 불 대수 준동형은 완비 격자 준동형이자 불 대수 준동형인 함수이다.

마찬가지로, 임의의 기수  에 대하여,  -완비 불 대수는 크기   미만의 모든 부분 집합이 상한하한을 갖는 불 대수이며,  -완비 불 대수 준동형은 크기   미만의 상한하한을 보존하는 불 대수 준동형이다.  -완비 불 대수는 불 대수와 같은 개념이며,  -완비 불 대수는 시그마 대수라고 한다.

위상수학적 정의편집

불 대수와 불 대수 준동형의 범주는 스톤 공간연속 함수의 범주의 반대 범주이다. 이 경우, 불 대수  에 대응하는 스톤 공간  이 주어졌을 때, 만약 다음 조건이 성립한다면  완비 불 대수라고 한다.

성질편집

함의 관계편집

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

완비 격자 완비 헤이팅 대수 완비 불 대수
시그마 대수
원순서 집합부분 순서 집합 유계 격자 헤이팅 대수 불 대수

기초적 성질편집

임의의 완비 불 대수  의 원소   및 부분 집합  에 대하여, 다음이 성립한다.

  • (무한 분배 법칙)  
  • (무한 분배 법칙)  
  • (무한 드 모르간 법칙)  
  • (무한 드 모르간 법칙)  

크기편집

기수  에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.[1][2][3]

  •  인 완비 불 대수  가 존재한다.
  •  시그마 대수( -완비 불 대수)  가 존재한다.
  • 만약  가 무한 기수라면,  이다. 만약  가 유한 기수라면,  인 기수  이 존재한다.

시코르스키 확장 정리편집

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 불 대수  의 부분 불 대수  
  • 완비 불 대수  
  • 불 대수 준동형  

시코르스키 확장 정리(영어: Sikorski extension theorem)에 따르면,  가 성립하는 불 대수 준동형  가 존재한다.

매장 가능성편집

부분 순서 집합  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 순서 집합을 분리 부분 순서 집합(分離部分順序集合, 영어: separative poset)이라고 한다.

  • 임의의  에 대하여,  라면, 임의의  에 대하여,  하계를 갖지 않는다.[4]:204, Definition 14.8
  •  가 되는 완비 불 대수  부분 집합  가 존재한다.[4]:205, Lemma 14.9, Theorem 14.10 ( 은 순서 동형이다.)

범주론적 성질편집

완비 불 대수와 완비 불 대수 준동형의 범주  구체적 범주이며, 완비 격자와 완비 격자 준동형의 범주  충만한 부분 범주이다.

망각 함자

 

왼쪽 수반 함자를 갖지 않는다. 즉, 자유 완비 불 대수는 일반적으로 존재하지 않는다.[5][6][7][8] 그러나 임의의 기수  에 대하여,  -완비 불 대수 및  -완비 불 대수 준동형의 범주  의 경우 자유 대상이 존재한다.

특히,  쌍대 완비 범주가 아니다.

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모든 유한 불 대수는 완비 불 대수이다.

멱집합편집

완비 불 대수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  •  인 집합  가 존재한다.
  • 임의의 원소  에 대하여,   가 존재한다.

특히, 후자가 성립한다면

 

이다. 여기서  부분 순서 집합  극소 원소들의 집합이며,   최소 원소이다.  의 원소는 보통 원자(영어: atom)라고 한다.

위상 수학편집

위상 공간  정칙 열린집합들의 족은 완비 불 대수를 이룬다.

역사편집

시코르스키 확장 정리는 로만 시코르스키(폴란드어: Roman Sikorski, 1925~1983)가 증명하였다.[9]

참고 문헌편집

  1. Pierce, R. S. (1958). “A note on complete Boolean algebras”. 《Proceedings of the American Mathematical Society》 (영어) 9: 892–896. doi:10.1090/S0002-9939-1958-0102487-6. 
  2. Comfort, W. W.; Hager, Anthony W. (1972). “Cardinality of 𝔨-complete Boolean algebras”. 《Pacific Journal of Mathematics》 (영어) 40 (3): 541–545. MR 0307997. Zbl 0232.06008. 
  3. Monk, J. Donald; Sparks, Paul R. (1971). “Counting Boolean algebras”. 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 18: 551–551. 
  4. >Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002. doi:10.1007/3-540-44761-X. 
  5. Gaifman, H. (1964). “Infinite Boolean polynomials I”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 54 (3): 229–250. ISSN 0016-2736. MR 0168503. 
  6. Hales, Alfred Washington (1964). “On the non-existence of free complete Boolean algebras”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 54 (1): 45–66. ISSN 0016-2736. MR 0163863. 
  7. Hales, Alfred Washington (1962). 《On the nonexistence of free complete Boolean algebras》 (영어). 박사 학위 논문 (지도 교수 Robert P. Dilworth). 캘리포니아 공과대학교. 
  8. Solovay, Robert M. (1966년 3월). “New proof of a theorem of Gaifman and Hales”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 72: 282–284. ISSN 0273-0979. MR 0186598. Zbl 0158.24903. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11493-3. 
  9. Sikorski, Roman (1960). 《Boolean algebras》. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (영어) 25. Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-85822-2. MR 126393. Zbl 0087.02503. doi:10.1007/978-3-642-85820-8. 

외부 링크편집