위상 공간 국소화

호모토피 이론에서, 위상 공간의 국소화(局所化, 영어: localization)는 그 호모토피 군이 주어진 유리수체 부분환의 가군이 되게 위상 공간을 개량하는 과정이다.

정의

단순 공간

다음 조건을 만족시키는 위상 공간 $X$ 를 단순 공간이라고 하자.

CW 복합체와 호모토피 동치이다.
연결 공간이다.
기본군이 아벨 군이다.
기본군 $\pi _{1}(X)$ 은 $X$ 의 범피복 공간의 호모토피 군 및 호몰로지 군 위에 작용한다. 이 경우, 이 두 작용이 둘 다 자명해야 한다.

국소 공간

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

유리수체의 부분환 $R\subseteq \mathbb {Q}$

그렇다면, $R$ -국소 공간(局所空間, 영어: $R$ -local space)은 다음 조건을 만족시키는 단순 공간 $X$ 이다.

모든 차수의 호모토피 군은 $R$ -가군이다. 즉, 임의의 $m/n\in R$ 및 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ 및 $g\in \pi _{k}(X)$ 에 대하여, $mg=nh$ 가 되는 $h\in \pi _{k}(X)$ 가 유일하게 존재한다.

국소화

단순 공간 $X$ 의 $R$ 에서의 국소화는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$R$ -국소 공간 $Y$
호모토피류 $f\colon X\to Y$

이 데이터는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

임의의 $R$ -국소 공간 $Y'$ 및 호모토피류 $f'\colon X\to Y'$ 에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 호모토피류 $\iota \colon Y\to Y'$ 가 유일하게 존재한다.
${\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&Y\\\|&&\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \color {White}\exists !\iota }\downarrow {\scriptstyle \exists !\iota }\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f'}{\to }}&Y'\end{matrix}}$

사실, 다음 두 집합 사이에는 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

소수의 집합 $S\subseteq \mathbb {P} =\{2,3,5,7,\dotsc \}$
유리수체의 부분환들의 집합 $R\subseteq \mathbb {R}$

이 전단사 함수는 구체적으로 정수환의 $S$ 에서의 국소화 환

S\mapsto (\mathbb {P} \setminus S)^{-1}\mathbb {Z}

으로 주어진다. (즉, $S$ 에 속하지 않는 소수들은 $(\mathbb {P} \setminus S)^{-1}\mathbb {Z}$ 에서 가역원이 된다.) 이에 따라, 단순 공간의 $S$ 에서의 국소화는 $(\mathbb {P} \setminus S)^{-1}\mathbb {Z}$ 에서의 국소화를 뜻한다.

예를 들어, $S=\varnothing$ 일 때 대응하는 환은 $\mathbb {Q}$ 이며, $S=\mathbb {P}$ 일 때 대응하는 환은 $\mathbb {Z}$ 이다. 특히, $S=\varnothing$ 일 때의 국소화를 유리수화(有理數化, 영어: rationalization)라고 한다.