위상 공간 국소화

호모토피 이론에서, 위상 공간의 국소화(局所化, 영어: localization)는 그 호모토피 군이 주어진 유리수체 부분환의 가군이 되게 위상 공간을 개량하는 과정이다.

정의

단순 공간

다음 조건을 만족시키는 위상 공간 $X$를 단순 공간이라고 하자.

• CW 복합체와 호모토피 동치이다.
• 연결 공간이다.
• 기본군이 아벨 군이다.
• 기본군 $\pi _{1}(X)$은 $X$의 범피복 공간의 호모토피 군 및 호몰로지 군 위에 작용한다. 이 경우, 이 두 작용이 둘 다 자명해야 한다.

국소 공간

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 유리수체의 부분환 $R\subseteq \mathbb {Q}$

그렇다면, $R$-국소 공간(局所空間, 영어: $R$-local space)은 다음 조건을 만족시키는 단순 공간 $X$이다.

• 모든 차수의 호모토피 군은 $R$-가군이다. 즉, 임의의 $m/n\in R$ 및 $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ 및 $g\in \pi _{k}(X)$에 대하여, $mg=nh$가 되는 $h\in \pi _{k}(X)$가 유일하게 존재한다.

국소화

단순 공간 $X$의 $R$에서의 국소화는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $R$-국소 공간 $Y$
• 호모토피류 $f\colon X\to Y$

이 데이터는 다음 보편 성질을 만족시켜야 한다.

• 임의의 $R$-국소 공간 $Y'$ 및 호모토피류 $f'\colon X\to Y'$에 대하여, 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 호모토피류 $\iota \colon Y\to Y'$가 유일하게 존재한다.

  ${\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&Y\\\|&&\!\!\!\!\!\!{\scriptstyle \color {White}\exists !\iota }\downarrow {\scriptstyle \exists !\iota }\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f'}{\to }}&Y'\end{matrix}}$

사실, 다음 두 집합 사이에는 표준적인 전단사 함수가 존재한다.

• 소수의 집합 $S\subseteq \mathbb {P} =\{2,3,5,7,\dotsc \}$
• 유리수체의 부분환들의 집합 $R\subseteq \mathbb {R}$

이 전단사 함수는 구체적으로 정수환의 $S$에서의 국소화 환

$S\mapsto (\mathbb {P} \setminus S)^{-1}\mathbb {Z}$

으로 주어진다. (즉, $S$에 속하지 않는 소수들은 $(\mathbb {P} \setminus S)^{-1}\mathbb {Z}$에서 가역원이 된다.) 이에 따라, 단순 공간의 $S$에서의 국소화는 $(\mathbb {P} \setminus S)^{-1}\mathbb {Z}$에서의 국소화를 뜻한다.

예를 들어, $S=\varnothing$일 때 대응하는 환은 $\mathbb {Q}$이며, $S=\mathbb {P}$일 때 대응하는 환은 $\mathbb {Z}$이다. 특히, $S=\varnothing$일 때의 국소화를 유리수화(有理數化, 영어: rationalization)라고 한다.

성질

임의의 $R\subseteq \mathbb {Q}$에 대하여, 임의의 단순 공간의 국소화는 항상 존재하며, (보편 성질에 의하여) 호모토피 동치 아래 유일하다.

역사

위상 공간의 국소화는 1970년에 데니스 설리번이 도입하였다. 그러나 설리번이 이를 도입한 강의록은 2005년에 되어서야 출판되었다.

외부 링크

• “Localization of a space”. 《nLab》 (영어). 
• “Rationalization”. 《nLab》 (영어).