작은 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
W
⊆
Mor
(
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {W}}\subseteq \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
동형 사상 을 포함하며, 또한 사상의 합성에 대하여 닫혀 있다고 하자.
그렇다면,
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
국소화
L
:
C
→
C
[
W
−
1
]
{\displaystyle L\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}
보편 성질 을 만족시키는 범주이다.
임의의 작은 범주
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
F
:
C
→
D
{\displaystyle F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}
F
{\displaystyle F}
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
동형 사상 으로 대응시킨다면,
D
≃
U
∘
L
{\displaystyle D\simeq U\circ L}
U
:
C
[
W
−
1
]
→
D
{\displaystyle U\colon {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]\to {\mathcal {D}}}
자연 동형
F
⇒
U
∘
L
{\displaystyle F\Rightarrow U\circ L}
C
→
L
C
[
W
−
1
]
F
↘
↓
∃
U
D
{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\xrightarrow {L}}&{\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]\\&{\scriptstyle F}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists U\\&&{\mathcal {D}}\end{matrix}}}
작은 범주 의 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질 의 성질에 따라서 범주의 동치 아래 유일하다.
(만약
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
동형 사상 을 포함하지 않거나, 사상의 합성에 대하여 닫혀 있지 않을 경우에도 국소화를 정의할 수 있다. 그러나 이 경우 만약
W
¯
{\displaystyle {\bar {\mathfrak {W}}}}
C
[
W
¯
−
1
]
{\displaystyle {\mathcal {C}}[{\bar {\mathfrak {W}}}^{-1}]}
C
[
W
−
1
]
{\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}
보편 성질 을 만족시키게 되어 서로 동형이다. 즉, 일반성을 잃지 않고
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
작은 범주 의 경우 국소화는 항상 존재한다. 작은 범주가 아닐 경우, 국소화는 일반적으로 존재하지 않을 수 있다. 특히, 국소적으로 작은 범주 의 국소화는 (만약 존재한다면) 국소적으로 작은 범주 가 아닐 수 있다.
만약 그로텐디크 전체 를 사용한다면 물론 국소화는 항상 존재하지만, 이 경우 국소화는 사용되는 그로텐디크 전체 에 의존할 수 있다.
만약 범주가 모형 범주 의 구조를 갖는다면, 이 개념을 사용하여 약한 동치 에서의 국소화를 구성할 수 있다.
작은 범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
동형 사상 을 포함하며 합성에 대하여 닫혀 있는 사상 집합
W
⊆
Mor
(
C
)
{\displaystyle {\mathfrak {W}}\subseteq \operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})}
Σ
=
Mor
(
C
)
⊔
{
w
¯
:
w
∈
W
}
{\displaystyle \Sigma =\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}})\sqcup \{{\bar {w}}\colon w\in {\mathfrak {W}}\}}
의 원소가 사상
f
∈
Mor
C
{\displaystyle f\in \operatorname {Mor} {\mathcal {C}}}
w
∈
W
{\displaystyle w\in {\mathfrak {W}}}
w
¯
{\displaystyle {\bar {w}}}
a
∈
Σ
{\displaystyle a\in \Sigma }
만약
a
∈
Mor
C
{\displaystyle a\in \operatorname {Mor} {\mathcal {C}}}
dom
a
{\displaystyle \operatorname {dom} a}
a
{\displaystyle a}
정의역 이며
codom
a
{\displaystyle \operatorname {codom} a}
a
{\displaystyle a}
공역 이다.
만약
w
∈
W
{\displaystyle w\in {\mathfrak {W}}}
dom
w
¯
=
codom
w
{\displaystyle \operatorname {dom} {\bar {w}}=\operatorname {codom} w}
codom
w
¯
=
dom
w
{\displaystyle \operatorname {codom} {\bar {w}}=\operatorname {dom} w}
Σ
{\displaystyle \Sigma }
문자열
a
0
a
1
a
2
⋯
a
k
∈
Σ
∗
{\displaystyle a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{k}\in \Sigma ^{*}}
가 다음 두 성질을 만족시킨다면, 지그재그 (영어 : zigzag )라고 한다. (
Σ
∗
{\displaystyle \Sigma ^{*}}
클레이니 스타 이다.)
길이가 1 이상이다.
모든
i
∈
{
1
,
…
,
k
}
{\displaystyle i\in \{1,\dots ,k\}}
dom
a
i
−
1
=
codom
a
i
{\displaystyle \operatorname {dom} a_{i-1}=\operatorname {codom} a_{i}}
지그재그는 다음과 같은 꼴의 그림으로 생각할 수 있다.
∙
←
∼
∙
→
∙
←
∼
∙
→
⋯
→
∙
{\displaystyle \bullet {\overset {\sim }{\leftarrow }}\bullet \to \bullet {\overset {\sim }{\leftarrow }}\bullet \to \cdots \to \bullet }
(여기서
→
∼
{\displaystyle {\overset {\sim }{\to }}}
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
이 경우, 지그재그의 집합 위에 다음과 같은 관계로부터 생성되는 동치 관계 를 부여하자.
임의의 문자열
s
1
,
s
2
∈
Σ
∗
{\displaystyle s_{1},s_{2}\in \Sigma ^{*}}
s
1
{\displaystyle s_{1}}
s
2
{\displaystyle s_{2}}
s
1
id
X
s
2
∼
s
1
s
2
∼
s
1
id
X
¯
s
2
{\displaystyle s_{1}\operatorname {id} _{X}s_{2}\sim s_{1}s_{2}\sim s_{1}{\overline {\operatorname {id} _{X}}}s_{2}}
임의의 문자열
s
1
,
s
2
∈
Σ
∗
{\displaystyle s_{1},s_{2}\in \Sigma ^{*}}
f
,
g
∈
Mor
C
{\displaystyle f,g\in \operatorname {Mor} {\mathcal {C}}}
s
1
f
g
s
2
∼
s
1
(
f
∘
g
)
s
2
{\displaystyle s_{1}fgs_{2}\sim s_{1}(f\circ g)s_{2}}
임의의 문자열
s
1
,
s
2
∈
Σ
∗
{\displaystyle s_{1},s_{2}\in \Sigma ^{*}}
w
,
w
′
∈
W
{\displaystyle w,w'\in {\mathfrak {W}}}
s
1
w
¯
′
w
¯
s
2
∼
s
1
w
∘
w
′
¯
s
2
{\displaystyle s_{1}{\bar {w}}'{\bar {w}}s_{2}\sim s_{1}{\overline {w\circ w'}}s_{2}}
임의의 문자열
s
1
,
s
2
∈
Σ
∗
{\displaystyle s_{1},s_{2}\in \Sigma ^{*}}
w
∈
W
{\displaystyle w\in {\mathfrak {W}}}
s
1
w
w
¯
s
2
∼
s
1
id
dom
w
¯
s
2
{\displaystyle s_{1}w{\bar {w}}s_{2}\sim s_{1}\operatorname {id} _{\operatorname {dom} {\bar {w}}}s_{2}}
s
1
w
¯
w
s
2
∼
s
1
id
dom
w
s
2
{\displaystyle s_{1}{\bar {w}}ws_{2}\sim s_{1}\operatorname {id} _{\operatorname {dom} w}s_{2}}
임의의 문자열
s
1
,
s
2
∈
Σ
∗
{\displaystyle s_{1},s_{2}\in \Sigma ^{*}}
f
:
X
→
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
f
′
:
X
′
→
Y
′
{\displaystyle f'\colon X'\to Y'}
w
X
:
X
→
X
′
{\displaystyle w_{X}\colon X\to X'}
w
Y
:
Y
→
Y
′
{\displaystyle w_{Y}\colon Y\to Y'}
w
X
f
′
=
f
w
Y
{\displaystyle w_{X}f'=fw_{Y}}
w
X
,
w
Y
∈
W
{\displaystyle w_{X},w_{Y}\in {\mathfrak {W}}}
s
1
f
′
w
¯
Y
s
2
∼
s
1
w
¯
X
f
s
2
{\displaystyle s_{1}f'{\bar {w}}_{Y}s_{2}\sim s_{1}{\bar {w}}_{X}fs_{2}}
∙
→
∼
∙
f
↓
↓
f
′
∙
→
∼
∙
{\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &{\overset {\sim }{\to }}&\bullet \\{\scriptstyle f}\downarrow &&\downarrow {\scriptstyle f'}\\\bullet &{\underset {\sim }{\to }}&\bullet \end{matrix}}}
그렇다면, 국소화
C
[
W
−
1
]
{\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}
C
[
W
−
1
]
{\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
C
[
W
−
1
]
{\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}
(
C
,
W
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}})}
지그재그
a
0
a
1
⋯
a
n
{\displaystyle a_{0}a_{1}\cdots a_{n}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
0
{\displaystyle a_{0}}
X
∈
C
{\displaystyle X\in {\mathcal {C}}}
id
X
{\displaystyle \operatorname {id} _{X}}
환 의 국소화 를 오레 조건 을 가정하면 더 간단하게 구성할 수 있는 것처럼, 마찬가지로 범주의 국소화의 경우에도 비슷한 오레 조건 을 가정하여 국소화를 더 간단하게 구성할 수 있다.
범주
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
오른쪽 오레 조건 이 성립한다고 한다. (여기서,
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
→
∼
{\displaystyle {\overset {\sim }{\to }}}
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
동형 사상 을 포함한다.
W
{\displaystyle {\mathfrak {W}}}
임의의 그림
X
→
Y
←
∼
Y
′
{\displaystyle X\to Y{\overset {\sim }{\leftarrow }}Y'}
X
←
∼
X
′
→
Y
′
{\displaystyle X{\overset {\sim }{\leftarrow }}X'\to Y'}
X
←
∼
∃
X
′
↓
↓
∃
Y
←
∼
Y
′
{\displaystyle {\begin{matrix}X&{\underset {\exists }{\overset {\sim }{\leftarrow }}}&X'\\\downarrow &&\downarrow \scriptstyle \exists \\Y&{\underset {\sim }{\leftarrow }}&Y'\end{matrix}}}
임의의
X
⇉
f
g
Y
→
∼
w
Y
′
{\displaystyle X{\underset {g}{\overset {f}{\rightrightarrows }}}Y{\underset {w}{\overset {\sim }{\to }}}Y'}
w
∘
f
=
w
∘
g
{\displaystyle w\circ f=w\circ g}
f
∘
v
=
g
∘
v
{\displaystyle f\circ v=g\circ v}
X
′
→
∼
v
X
{\displaystyle X'{\underset {v}{\overset {\sim }{\to }}}X}
오른쪽 지붕 (영어 : right roof )은 다음과 같은 꼴의 그림이다.
∙
←
∼
∙
→
∙
{\displaystyle \bullet {\overset {\sim }{\leftarrow }}\bullet \to \bullet }
같은 정의역과 공역을 갖는 두 오른쪽 지붕
∙
∼
↙
↘
∙
∙
∼
↖
↗
∙
{\displaystyle {\begin{matrix}&&\bullet \\&{^{\sim }}\!\swarrow &&\searrow \\\bullet &&&&\bullet \\&{_{\sim }}\!\nwarrow &&\nearrow \\&&\bullet \end{matrix}}}
에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, 두 오른쪽 지붕이 서로 동치라고 하자.
∙
∼
↙
↑
↘
∙
←
∼
∙
∙
∼
↖
↓
↗
∙
{\displaystyle {\begin{matrix}&&\bullet \\&{^{\sim }}\!\swarrow &\uparrow &\searrow \\\bullet &{\overset {\sim }{\leftarrow }}&\bullet &&\bullet \\&{_{\sim }}\!\nwarrow &\downarrow &\nearrow \\&&\bullet \end{matrix}}}
만약
(
C
,
W
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}})}
마찬가지로, 오른쪽 오레 조건을 쌍대화하여 왼쪽 오레 조건 (영어 : left Ore condition )을 정의할 수 있다. 이 경우, 사상을 왼쪽 지붕 (영어 : left roof )으로 하는 국소화를 구성할 수 있다.
모형 범주
(
C
,
W
,
F
,
C
)
{\displaystyle ({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})}
호모토피 범주
ho
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}
ho
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
ho
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
호모토피류 이다. (올대상이자 쌍대올대상인 두 대상 사이에는 왼쪽·오른쪽 호모토피류가 일치한다.)그렇다면, 국소화
C
[
W
−
1
]
{\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}
ho
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {ho} ({\mathcal {C}})}
동치 이다.
특히, 모형 범주의 호모토피 범주 구성은
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
작은 범주 가 아니더라도 국소적으로 작은 범주 라면 집합론적으로 문제가 없기 때문에, 이러한 경우에 국소화를 구성하는 데 사용된다.
아벨 범주 의 유도 범주 는 유사동형 의 모임에 대한 국소화이다.
위상 공간 의 호모토피 범주 는 위상 공간의 범주를 호모토피 동치 또는 약한 호모토피 동치 에서 국소화하여 얻는다. 이 범주는 작은 범주 가 아니지만, 호모토피 범주는 모형 범주 이론을 통해 집합론적 문제를 피하면서 구성할 수 있다.
임의의 아벨 다양체 A 에서 B 로 가는 등원 사상 (isogeny)은 유한 핵 을 갖는 전사 함수 이다. 아벨 다양체에 대한 몇몇 정리에서, 등원한 차이를 제외한 아벨 다양체 (abelian variety up to isogeny )라는 개념이 필요할 때가 있다. 예를 들어 푸엥카레 기약성 정리(Poincaré's reducibility theorem)는 다음과 같다: 주어진 아벨 다양체 A 의 아벨 부분 다양체 A1 에 대하여
A1 × A2 가 A 와 등원한(isogenous) 부분 다양체 A2 가 존재한다.
![{\displaystyle L\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d48913ca2a4d39dc01d1165980c574a6271c84f8)
![{\displaystyle U\colon {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]\to {\mathcal {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f3f83fe95bf245dd7d72ddebe16eaed080ebe7)
![{\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {C}}&{\xrightarrow {L}}&{\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]\\&{\scriptstyle F}\searrow &\downarrow \scriptstyle \exists U\\&&{\mathcal {D}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ad3a606c2d8127506ad5854c1a27435ce1fb1b)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}[{\bar {\mathfrak {W}}}^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabb5b26039ed246063fc2581d247b4a551c3d9c)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}[{\mathfrak {W}}^{-1}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/059cff0bf990f0b1f4701aff9cb5188d742b50be)
이 부분의 본문은 모형 범주입니다.
