집합족적 정규 공간
일반위상수학에서 집합족적 정규 공간(영어: collectionwise normal space)은 정규 공간보다 강한 분리공리를 만족시키는 위상 공간이다. 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 하우스도르프 공간과 정규 하우스도르프 공간 사이에 있다.
정의
편집위상 공간 의 부분 집합들의 집합족 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 이산 집합족(영어: discrete family)이라고 한다.
위상 공간 의 부분 집합들의 집합족 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 집합족을 분리 집합족(영어: separated family) 또는 거의 이산 집합족(영어: almost discrete family)이라고 한다.
- 임의의 에 대하여, 이다.
- 는 의 이산 집합족이다.
모든 이산 집합족은 국소 유한 집합족이자 분리 집합족이다. 모든 분리 집합족은 (자명하게) 서로소 집합족이다.
위상 공간 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 집합족적 정규 공간이라고 한다.
- 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 서로소 집합족 이 존재한다.
- 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 이산 집합족 이 존재한다.
- 임의의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 서로소 집합족 이 존재한다.
- 임의의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 이산 집합족 이 존재한다.
증명:
만약 가 이산 집합족이라면, 역시 이산 집합족이다. 따라서, 첫 번째와 세 번째 조건 및 두 번째와 네 번째 조건은 서로 동치이다. 두 번째 조건은 자명하게 첫 번째 조건을 함의한다. 이제, 임의의 닫힌집합들의 이산 집합족 에 대하여, 인 열린집합들의 서로소 집합족 이 존재한다고 가정하자. 그렇다면, 는 자명하게 정규 공간이다. 또한, 는 닫힌집합들의 국소 유한 집합족이므로, 그 합집합 역시 닫힌집합이다. 따라서,
인 열린집합 가 존재한다. 그렇다면,
는 열린집합들로 이루어진 집합족이며,
이다. 따라서 가 이산 집합족임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 에 대하여, 인 가 하나 이하인 근방 를 찾아야 한다. 만약 라면,
를 취한다. 만약 라면, 을
인 유일한 로 잡을 수 있다.
위상 공간 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 를 완비 집합족적 정규 공간(영어: completely collectionwise normal space) 또는 유전 집합족적 정규 공간(영어: hereditarily collectionwise normal space)이라고 한다.
성질
편집다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
거리화 가능 공간 → 완전 정규 하우스도르프 공간 (T6) → 완비 정규 하우스도르프 공간 (T5) → 정규 하우스도르프 공간 (T4) ↘ ↑ ↑ 단조 정규 하우스도르프 공간 → 완비 집합족적 정규 하우스도르프 공간 → 집합족적 정규 하우스도르프 공간
모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 집합족적 정규 공간이다. 반대로, 모든 메타콤팩트 집합족적 정규 하우스도르프 공간은 파라콤팩트 공간이다.
예
편집순서 위상을 가한 전순서 집합은 단조 정규 하우스도르프 공간이며, 특히 완비 집합족적 정규 공간이다. 하지만 순서 위상을 준 최소의 비가산 순서수 은 완전 정규 공간이 아니다.
참고 문헌
편집- ↑ 가 나 Bing, R. H. (1951). “Metrization of topological spaces”. 《Canadian Journal of Mathematics》 (영어) 3: 175–186. doi:10.4153/CJM-1951-022-3. ISSN 0008-414X. MR 0043449. Zbl 0042.41301.
- Engelking, Ryszard (1989). 《General topology》. Sigma Series in Pure Mathematics (영어) 6 개정 완결판. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4. MR 1039321. Zbl 0684.54001.
외부 링크
편집- “Collectionwise normal space”. 《Topospaces》 (영어).
- “Hereditarily collectionwise normal space”. 《Topospaces》 (영어).
- “Collectionwise normal”. 《PlanetMath》 (영어).