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일반위상수학에서, 분리 집합쌍(分離集合雙, 영어: separated pair of sets)은 서로의 폐포와 겹치지 않는 두 개의 집합을 뜻한다. 이 개념 및 이를 강화한 조건들을 통해, 위상 공간의 다양한 분리공리(分離公理, 영어: separation axiom)들을 정의할 수 있다.

목차

정의편집

위상 공간  의 두 부분 집합  에 대하여, 다음을 정의한다.

  • 만약  이라면,   서로소 집합쌍(-素集合雙, 영어: disjoint pair of sets)이다.
  • 만약  이거나 또는  이라면,   위상 구별 가능 집합쌍(位相區別可能集合雙, 영어: topologically distinguishable pair of sets)이다.
  • 만약  이라면,   분리 집합쌍(分離集合雙, 영어: separated pair of sets)이다.
  • 만약  이 되는  근방   근방  가 존재한다면,   근방 분리 집합쌍(近傍分離集合雙, 영어: neighborhood-separated pair of sets)이다.
  • 만약  이 되는  의 닫힌 근방   의 닫힌 근방  가 존재한다면,   닫힌 근방 분리 집합쌍(-近傍分離集合雙, 영어: closed-neighborhood-separated pair of sets)이다.
  • 만약  이자  연속 함수  가 존재한다면,   함수 분리 집합쌍(函數分離集合雙, 영어: functionally separated pair of sets)이다.
  • 만약  이자  연속 함수  가 존재한다면,   정밀 함수 분리 집합쌍(精密函數分離集合雙, 영어: precisely functionally separated pair of sets)이다. 이 경우,  닫힌집합  원상이므로  닫힌집합이며, 또한 가산 개의 열린집합 교집합이므로 Gδ 집합이다. 이는  도 마찬가지다.

이들 사이에는 서로 함의 관계 전순서가 존재한다.

서로소 ⇐ 분리 ⇐ 근방 분리 ⇐ 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리 ⇐ 정밀 함수 분리

이 가운데 자명하지 않은 것은 닫힌 근방 분리 ⇐ 함수 분리로, 만약    에 의하여 서로 함수 분리라면,  ,  로 놓으면 이들이 닫힌 근방 분리임을 알 수 있다.

성질편집

위상 공간  에 대하여, 다음과 같은 꼴의 조건을 정의할 수 있다.

〜인 부분 집합  에 대하여, 만약  이라면,   는 〜분리이다.

이러한 조건을 분리공리라고 한다. 대표적인 예는 다음과 같다. (아래 표에서, "점"이란 사실 한원소 집합을 뜻한다.)

분리 대상╲분리 조건 위상 구별 가능 분리 근방 분리 닫힌 근방 분리 함수 분리 정밀 함수 분리
점과 점 콜모고로프 공간 T1 공간 하우스도르프 공간 우리손 공간 완비 하우스도르프 공간
점과 닫힌집합 모든 위상 공간 R0 공간 정칙 공간 완비 정칙 공간
닫힌집합닫힌집합 모든 위상 공간 정규 공간 완전 정규 공간
점과 열린집합 모든 위상 공간 이산 공간
열린집합닫힌집합
열린집합열린집합 모든 위상 공간

여기서

증명 (㉠과 동치인 조건들):

다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.

  • (A) 열린집합과 닫힌집합이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
  • (A′) 열린집합과 점이 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
  • (A″) 열린집합과 열린집합이 함수 분리 ⇒ 열린집합이 닫힌집합과 일치
  • (B) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 열린(닫힌)집합은 정밀히 함수 분리
  • (B′) 열린집합이 닫힌집합과 일치 ⇒ 열린집합과 점은 함수 분리

(A): 임의의 열린집합  에 대하여,  닫힌집합  가 분리되었다고 하자. 그렇다면  이므로  닫힌집합이다.

(A′): 귀류법을 통해, 닫힌집합이 아닌 열린집합  이 존재한다면,  를 고를 수 있으며, 이 경우   는 서로 분리되지 않는다.

(A″): 함수 분리되는 두 집합은 항상 닫힌집합이다.

(B):  에서 모든 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 임의의 두 서로소 열린닫힌집합  에 대하여,

 
 

  를 정밀히 분리하는 연속 함수이다.

(B′):  에서 열린집합닫힌집합이 일치한다고 하자. 열린집합   를 고른 뒤,  로 놓자. 그렇다면 (B)에 의하여   를 분리하는 함수가 존재한다.

증명 (㉡과 동치인 조건):

다음 함의 관계들을 증명하면 족하다.

  • (C) 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리 ⇒ 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합
  • (C′) 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합 ⇒ 열린집합과 열린집합은 닫힌 근방 분리

(C):  의 임의의 정칙 열린집합  에 대하여,  라고 하자. 그렇다면

 

이다. 이제,  와 가 닫힌 근방 분리된다는 것은

 

를 뜻하므로,  닫힌집합이다. 따라서, 모든 정칙 열린집합은 닫힌집합이다.

(C′):  에서 모든 정칙 열린집합이 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면,  의 두 서로소 열린집합  에 대하여,

 
 

라고 하자. 그렇다면   의 닫힌 근방이며,

 

이므로   의 닫힌 근방이다. 따라서   는 닫힌 근방으로 분리된다.

증명 (이산 공간과 동치인 조건):

한원소 집합과 열린집합이 정밀히 함수로 분리된다는 것은 모든 열린집합닫힌집합이며, 또 한원소 집합닫힌집합이어야 한다는 것을 함의한다. 후자는 T1 공간의 정의이며, 따라서 이러한 공간은 이산 공간이다. 반대 방향 함의는 자명하다.

증명 (㉢의 함의):

완비 정칙 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]

  • 모든 한원소 집합Gδ 집합이다.
  • 임의의  에 대하여,  연속 함수  가 존재한다.

따라서, 임의의  에 대하여

 
 

 를 고른다면,

 

  을 정밀히 분리한다.

참고 문헌편집

  1. “G-delta subspace”. 《nLab》 (영어). 

외부 링크편집