수학 에서 일차 함수 (一次函數, 영어 : linear function )는 최고 차항의 차수가 1인 다항 함수 이다. 즉, 그래프 가 직선 인 함수 이다. 정비례 함수 (正比例函數 영어 : directly proportional function )는 일차 함수에 상수항이 0이라는 조건을 추가한 특수한 경우이다. 즉, 그래프가 원점 을 지나는 직선인 함수이다. 단, 계수는 실수여야 한다.
일차 함수 그래프의 예시
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
데카르트 좌표계 에서의 그래프는 수직이 아닌 직선이다. 특히, 정비례 함수
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=ax}
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
기울기 는
x
{\displaystyle x}
a
{\displaystyle a}
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
{\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}
(
x
2
,
f
(
x
2
)
)
{\displaystyle (x_{2},f(x_{2}))}
비 와 같다. 또한, 그래프와 만날 때까지 양의
x
{\displaystyle x}
θ
{\displaystyle \theta }
a
{\displaystyle a}
탄젠트 와 같다. 사실,
a
{\displaystyle a}
f
{\displaystyle f}
미분 이기도 하다.
a
=
f
(
x
2
)
−
f
(
x
1
)
x
2
−
x
1
=
tan
θ
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle a={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}=\tan \theta =f'(x)}
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
동치 이다. 즉, 이들 조건 중 어떤 하나가 성립한다면, 나머지 조건들 역시 성립하며, 어떤 하나가 성립하지 않는다면, 나머지 역시 성립하지 않는다.
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
일차 다항식 이다.
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
강한 단조 함수 이다.
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
전단사 함수 이다.일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
영점 은 일차 방정식
f
(
x
)
=
0
{\displaystyle f(x)=0}
x
{\displaystyle x}
a
≠
0
{\displaystyle a\neq 0}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
−
b
/
a
{\displaystyle -b/a}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
(
−
b
/
a
,
0
)
{\displaystyle (-b/a,0)}
a
=
0
≠
b
{\displaystyle a=0\neq b}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
b
{\displaystyle b}
a
=
0
=
b
{\displaystyle a=0=b}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
x
{\displaystyle x}
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
f
(
0
)
=
b
{\displaystyle f(0)=b}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
y
{\displaystyle y}
일차 함수
f
(
x
)
=
a
x
+
b
{\displaystyle f(x)=ax+b}
단조 함수 이다.
a
>
0
{\displaystyle a>0}
강한 증가 함수 ,
a
<
0
{\displaystyle a<0}
강한 감소 함수 ,
a
=
0
{\displaystyle a=0}
상수 함수 이다.
함수
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
임의의
x
,
y
,
t
∈
R
{\displaystyle x,y,t\in \mathbb {R} }
f
(
t
x
+
(
1
−
t
)
y
)
=
t
f
(
x
)
+
(
1
−
t
)
f
(
y
)
{\displaystyle f(tx+(1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)}
임의의 도함수
g
:
R
→
R
{\displaystyle g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
f
∘
g
{\displaystyle f\circ g}
f
{\displaystyle f}
함수
f
:
R
→
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
임의의
x
,
y
,
c
∈
R
{\displaystyle x,y,c\in \mathbb {R} }
f
(
c
x
+
y
)
=
c
f
(
x
)
+
f
(
y
)
{\displaystyle f(cx+y)=cf(x)+f(y)}
f
{\displaystyle f}
이에 따라, 일차 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 아핀 변환 이며, 정비례 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 선형 변환 이다.
