일차 함수

수학에서, 일차 함수(一次函數, 영어: linear function)는 최고 차수가 1 이하인 다항 함수이다. 즉, 그래프직선함수이다. 정비례 함수(正比例函數 영어: directly proportional function)는 일차 함수에 상수항이 0이라는 조건을 추가한 특수한 경우이다. 즉, 그래프가 원점을 지나는 직선인 함수이다.

일차 함수 그래프의 예시

정의편집

일차 함수정의역공역실수집합인, 다음과 같은 꼴의 함수이다.

 

여기서   는 임의의 실수이다. 정비례 함수는 다음과 같은 꼴의 특수한 일차 함수이다.

 

여기서  는 임의의 실수이다.

성질편집

일차 함수  직교 좌표계에서의 그래프는 수직이 아닌 직선이다. 특히, 정비례 함수  의 그래프는 원점을 지나는 수직이 아닌 직선이다.

기울기편집

일차 함수  기울기  왼쪽에 붙은 상수  를 뜻하며, 이를 구하는 공식은 여러 가지가 있다. 먼저, 일차 함수의 그래프 위의 두 점   를 취했을 때, 기울기는 독립 변수의 값과 종속 변수의 값의 변화량의 와 같다. 또한, 그래프와 만날 때까지 양의  축을 반대 시계 방향으로 회전해야 하는 각도를  라고 할 때,  는 이 각도의 탄젠트와 같다. 사실,   미분이기도 하다.

 

일차 함수  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다. 즉, 이들 조건 중 어떤 하나가 성립한다면, 나머지 조건들 역시 성립하며, 어떤 하나가 성립하지 않는다면, 나머지 역시 성립하지 않는다.

  •  
  •  일차 다항식이다.
  •  의 그래프는 수평선이 아니다.
  •  강한 단조 함수이다.
  •  전단사 함수이다.

영점편집

일차 함수  영점일차 방정식  의 해와 같다. 즉, 그래프가  축과 만나는 점의 좌표이다.

  •  일 경우,  의 영점은  가 유일하다. 즉,  의 그래프는  축과 유일한 교점  을 갖는다.
  •  일 경우,  의 영점은 존재하지 않는다. 이 경우  의 그래프는 수평선이며,  축과 거리  만큼 떨어져 있다.
  •  일 경우, 모든 실수가  의 영점이다. 즉,  의 그래프는  축과 겹쳐진다.

일차 함수  의 0에서의 함숫값은  이다. 이는  의 그래프가  축과 만나는 점의 좌표와 같다.

단조성편집

일차 함수  는 항상 단조 함수이다.  이면 강한 증가 함수,  이면 강한 감소 함수,  이면 상수 함수이다.

아핀성과 선형성편집

함수  에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 임의의  에 대하여,  
  • 임의의 도함수  에 대하여,   역시 도함수이다.
  •  는 일차 함수이다.

함수  에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 임의의  에 대하여,  
  •  는 정비례 함수이다.

이에 따라, 일차 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 아핀 변환이며, 정비례 함수는 실수 집합 위의 유일한 유형의 선형 변환이다.

같이 보기편집

외부 링크편집