(항등원을 갖는) 복소수 대합 대수
A
{\displaystyle A}
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
a
2
=
a
∗
=
a
{\displaystyle a^{2}=a^{*}=a}
a
{\displaystyle a}
사영원 (영어 : projection element )이라고 한다. 사영원의 집합을
P
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A)}
원소
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
a
∗
a
∈
P
(
A
)
{\displaystyle a^{*}a\in \operatorname {P} (A)}
a
{\displaystyle a}
부분 등거리원 (영어 : partial isometry )이라고 한다. 만약
a
{\displaystyle a}
a
∗
{\displaystyle a^{*}}
PI
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {PI} (A)}
P
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {P} (A)}
동치 관계 를 정의할 수 있다.
a
∼
b
⟺
∃
c
∈
PI
(
A
)
:
a
=
c
∗
c
,
b
=
c
c
∗
{\displaystyle a\sim b\iff \exists c\in \operatorname {PI} (A)\colon a=c^{*}c,\;b=cc^{*}}
무한 행렬 공간
편집
(항등원을 갖는) C* 대수
A
{\displaystyle A}
A
{\displaystyle A}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
정사각 행렬 들의 C* 대수
Mat
(
n
;
A
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (n;A)}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
n
+
1
{\displaystyle n+1}
ι
n
:
Mat
(
n
;
A
)
→
Mat
(
n
+
1
;
A
)
{\displaystyle \iota _{n}\colon \operatorname {Mat} (n;A)\to \operatorname {Mat} (n+1;A)}
라고 하면, 이들을 통해 다음과 같은 귀납적 극한 을 취할 수 있다.
Mat
(
∞
;
A
)
=
lim
n
→
∞
Mat
(
n
;
A
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)=\lim _{n\to \infty }\operatorname {Mat} (n;A)}
이는 그러나 항등원을 갖지 않아 환 이 아니다.
Mat
(
∞
;
A
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)}
M
⊕
N
=
(
M
0
m
×
n
0
n
×
m
N
)
(
M
∈
Mat
(
m
;
A
)
,
N
∈
Mat
(
n
;
A
)
)
{\displaystyle M\oplus N={\begin{pmatrix}M&0_{m\times n}\\0_{n\times m}&N\end{pmatrix}}\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))}
을 정의하자.
Mat
(
∞
;
A
)
{\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)}
동치 관계 를 정의하자.
M
∼
N
⟺
∃
P
∈
Mat
(
m
,
n
;
A
)
:
M
=
P
P
∗
,
N
=
P
∗
P
(
M
∈
Mat
(
m
;
A
)
,
N
∈
Mat
(
n
;
A
)
)
{\displaystyle M\sim N\iff \exists P\in \operatorname {Mat} (m,n;A)\colon M=PP^{*},\;N=P^{*}P\qquad (M\in \operatorname {Mat} (m;A),\;N\in \operatorname {Mat} (n;A))}
그렇다면,
Mat
(
∞
;
A
)
/
∼
{\displaystyle \operatorname {Mat} (\infty ;A)/\sim }
가환 모노이드 를 이룬다. 이를
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} (A)}
D
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {D} (A)}
그로텐디크 군 을
A
{\displaystyle A}
0차 K군 이라고 하며,
K
0
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {K} _{0}(A)}
마찬가지로,
A
{\displaystyle A}
일반 선형군
GL
(
n
;
A
)
=
Unit
(
Mat
(
n
;
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (n;A)=\operatorname {Unit} \left(\operatorname {Mat} (n;A)\right)}
및
GL
(
∞
;
A
)
=
lim
n
→
∞
GL
(
n
;
A
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;A)=\lim _{n\to \infty }\operatorname {GL} (n;A)}
를 정의하자. (
GL
(
∞
;
A
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (\infty ;A)}
군 이 아니다.) 이 경우,
A
{\displaystyle A}
i
{\displaystyle i}
K
i
(
A
)
=
π
i
−
1
(
GL
(
∞
;
A
)
)
(
i
≥
1
)
{\displaystyle \operatorname {K} _{i}(A)=\pi _{i-1}(\operatorname {GL} (\infty ;A))\qquad (i\geq 1)}
보트 주기성에 따라
K
i
+
2
(
A
)
=
K
i
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {K} _{i+2}(A)=\operatorname {K} _{i}(A)}
이다.
1차원 C* 대수
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
K
0
(
C
)
{\displaystyle \operatorname {K} _{0}(\mathbb {C} )}
D
(
C
)
≅
N
{\displaystyle \operatorname {D} (\mathbb {C} )\cong \mathbb {N} }
K
0
(
C
)
≅
Z
{\displaystyle \operatorname {K} _{0}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {Z} }
구체적으로,
n
↦
[
1
n
×
n
]
(
n
∈
N
)
{\displaystyle n\mapsto [1_{n\times n}]\qquad (n\in \mathbb {N} )}
이다. 이는 복소수 정사각 행렬
M
∈
Mat
(
n
;
C
)
{\displaystyle M\in \operatorname {Mat} (n;\mathbb {C} )}
M
2
=
1
{\displaystyle M^{2}=1}
M
=
diag
(
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
)
{\displaystyle M=\operatorname {diag} (e_{1},e_{2},\dotsc ,e_{n})}
e
1
,
…
,
e
n
∈
{
0
,
1
}
{\displaystyle e_{1},\dotsc ,e_{n}\in \{0,1\}}
의 꼴이기 때문이다.
참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle n\mapsto [1_{n\times n}]\qquad (n\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3724d6c2f22691740077a67344ee1c1b53d05cb6)
